Demostrar que $z$ no está en el cono de $V$ si existe un vector $w\in \mathbb{R}^n$

Question

Tome una colección de $m$ vectores en $\mathbb{R}^n$ , digamos que $V=\{v_1,v_2,...,v_m\}$ . Decimos que los vectores $z\in \mathbb{R}^n$ está en el cono de $V$ si y sólo si existen números no negativos $\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_m$ tal que $z=\sum_{i=1}^m\lambda_iv_i.$ Demostrar que $z$ no está en el cono de $V$ si existe un vector $w\in \mathbb{R}^n$ tal que $z$ es menor que $90$ título de $w$ pero cada $v_i\in V$ es al menos $90$ grados de $W$

Answer 1

Supongamos que $\ Z \in C(V)$ , $$\ \implies Z = \sum_{i=1}^{m}\lambda_iv_i \text{ } \text{ ;}\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ } \lambda_i \geq 0 \text{ }\text{ } \forall i \in [m] $$ Tomando el producto interior con $\ w$ , $$\ w^TZ = w^T(\sum_{i=1}^{m}\lambda_iv_i) = \sum_{i=1}^{m}\lambda_i(w^Tv_i) $$ Desde entonces, $\ Z$ está a menos de 90 grados de $w$ , $w^TZ$ el término de la izquierda es positivo. Del mismo modo, $w^Tv_i \leq 0 \text{ } \forall i$ . Esto nos muestra que el término de la derecha es negativo.

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