Conmutación de matrices

Question

Pregunta 1

Si tengo una matriz simétrica sesgada de 3 por 3, K(t) (K(t) y K'(t) no conmutan) cuál sería

$\frac{\mathrm{d}(K(t)^n) }{\mathrm{d} t} \tag 1$ ? es $(n) K(t)^{n-1}K'(t) \tag 2$

Pregunta 2

Entonces, ¿qué podría ser $\frac{\mathrm{d}(e^{K(t) })}{\mathrm{d} t}\tag 3$

Es como lo siguiente

$\frac{\mathrm{d}(e^{K(t)}) }{\mathrm{d} t} =\frac{\mathrm{d}\{ I+K(t)+\frac{K(t)^2}{2!}+.+.+. \} }{\mathrm{d} t} \tag 4$

$= K'(t)+\frac{K(t)K'(t) }{1!}+.+.+. =e^{K(t)}K'(t) \tag 5$

Por lo tanto, es obvio que $\frac{\mathrm{d}(e^{K(t) })}{\mathrm{d} t} \ne K'(t)e^{K(t)} \tag 6 $ siempre que K(t) y K'(t) no se conmuten. Pero ¿es correcto decir

$\frac{\mathrm{d}(e^{K(t) })}{\mathrm{d} t} = e^{K(t)}K'(t) \tag 7 $

NB:: Estoy un poco confundido con respecto a esto. Según esta nota enlace se dice propiedad de conmutatividad de K(t),K'(t). Pero nunca dice que (7) es incorrecto

Answer 1

Cuando la multiplicación no es conmutativa, hay que aplicar la regla del producto para las derivadas con más cuidado: $$\frac{d}{dt}(K(t)^2) = \frac{d}{dt}(K(t) \cdot K(t)) = K'(t) \cdot K(t) + K(t) \cdot K'(t)$$ Fíjate en la diferente ordenación de los 2 términos en el lado derecho. Se trata de no igual a $2 K(t) K'(t)$ a menos que $K(t)$ y $K'(t)$ conmutar. Así que (2) es incorrecta, por lo que (7) también lo es.

Answer 2

No es correcto. El documento vinculado no puede exponer este hecho con más claridad que su Teorema.