Prueba de la equivalencia lógica de las proposiciones bicondicionales y otras

Question

Estoy trabajando en un problema en el que necesito demostrar la equivalencia lógica de dos proposiciones. Una es una bicondicional: $p \leftrightarrow q$ . Y la otra es esta: $(p \land q) \lor (\lnot p \land \lnot q)$

Puedo reducir el bicondicional a esto: $(\lnot p \lor q) \land (\lnot q \lor p)$

Y no sé cómo cambiar la segunda proposición. ¿Puede alguien darme un punto de partida?

Answer 1

$p$ si $q$ es verdadera precisamente cuando: (ambos $p$ y $q$ son verdaderos) o (ambos $p$ y $q$ son falsas).

Esto se puede ver simplemente haciendo tablas de verdad. En cualquier caso, esta es exactamente la identidad en cuestión.

Answer 2

Sin utilizar tablas de verdad, el siguiente cálculo muestra que ambas formas son equivalentes:

$$\begin{align} & (\lnot p \lor q) \land (\lnot q \lor p) \\ \leftrightarrow & \;\;\;\;\;\text{"distribute $\;\land\;$ over $\;\lor\;$, three times"} \\ & (\lnot p \land \lnot q) \lor (\lnot p \land p) \lor (q \land \lnot q) \lor (q \land p) \\ \leftrightarrow & \;\;\;\;\;\text{"contradiction, twice"} \\ & (\lnot p \land \lnot q) \lor \textrm{false} \lor \textrm{false} \lor (q \land p) \\ \leftrightarrow & \;\;\;\;\;\text{"simplify"} \\ & (\lnot p \land \lnot q) \lor (q \land p) \\ \end{align}$$

Obsérvese que utilizamos implícitamente que tanto $\;\land\;$ y $\;\lor\;$ son simétricos y asociativos.