Tengo una pregunta sobre una subserie de series armónicas con recíprocos de números naturales que contienen un determinado dígito eliminado. Sé cómo demostrar que dicha serie es convergente cuando borramos todos $\frac{1}{n}$ donde $n$ contiene la representación decimal de $1, \ 2, \ ..., \ 9$ .
Por ejemplo, supongamos que eliminamos todos los $\frac{1}{n}$ donde $n$ tiene un $9$ en su representación decimal.
Dividimos la serie en grupos $10^n \ - \ 10^{n+1}$ (cada grupo comienza con $10^n$ ) y luego demostrar por inducción que en cada uno de esos grupos hay como máximo $9^n$ fracciones y por lo tanto su suma es menor que $\frac{9^n}{10^{n-1}}$ . Y entonces obtenemos que la suma de las series es menor que 90.
Pero no sé cómo probar esto si detetamos todo $n$ 's con $0$ en su representación decimal.
¿Podría ayudarme con eso?
Gracias.
