¿Ayuda para terminar la prueba con el discriminante polinómico?

Question

Demostrar que el discriminante de $$f(x) = x^n + nx^{n-1} + n(n-1)x^{n-2} + \cdots + n(n-1)\ldots (3)(2)x + n!$$ es $(-1)^{n(n-1)/2}(n!)^n$ .

Hasta ahora, he dejado que $\alpha_1,\ldots, \alpha_n$ sean las raíces de $f(x)$ . Tomando la derivada de $\log f(x) = \sum_{i=1}^n \log(x - \alpha_i)$ tenemos que $$\frac{f'(x)}{f(x)} = \sum_{i=1} \frac{1}{x-\alpha_i}.$$ Así, $$f'(\alpha_j) = \prod_{i=1, i\neq j}^n (\alpha_j - \alpha_i)$$ Entonces el discriminante es $$D = \prod_{i<j} (\alpha_i - \alpha_j)^2 = (-1)^{n(n-1)/2}\prod_{i\neq j} (\alpha_i - \alpha_j) = (-1)^{n(n-1)/2}\prod_{k=1}^n f'(\alpha_k).$$

Answer 1

Tenga en cuenta que $f'(x) = f(x) - x^n$ . Esto implica que $f'(\alpha_k) = -\alpha_k^n$ .

Su producto se simplifica a través de $$ \prod_{k=1}^n f'(\alpha_k) = \prod_{k=1}^n -\alpha_k^n = (-1)^n \left(\prod_{k=1}^n \alpha_k\right)^n = (-1)^n \left((-1)^nn!\right)^n = (n!)^n $$

Aquí utilizamos el hecho de que el producto de las raíces de $f(x)$ es igual a $(-1)^n$ por el término constante $n!$ .