Cómo solucionar $4x^3-3z^2=y^6$ en los enteros positivos?

Question

Resolver en los enteros positivos
$$4x^3-3z^2=y^6$$

Estamos dado que el $\gcd (x,y) = \gcd (y,z) = \gcd (x,z) = \gcd (x,y,z) = 1$.

No tengo la más mínima idea de cómo empezar esta pregunta. Ver la L. H. S. , todo lo que puedo pensar es sobre el coseno triple ángulo de la fórmula, pero no creo que va a ser de ayuda aquí

Cualquier ayuda será apreciada.

Gracias.

Answer 1

$x = y = z = 1$ es una solución y es el único entero positivo de la solución.

Esto puede ser probado utilizando cualquiera de curva Elíptica o Último Teorema de Fermat.

Método 1 - curva Elíptica

Deje $X= \frac{12x}{y^2}$$Y = \frac{36z}{y^3}$. Siempre que $y \ne 0$, tenemos

$$y^6 - 4x^3 + 3z^2 = 0\quad\iff\quad Y^2 = X^3 - 432$$ El lado derecho es la ecuación de una curva elíptica. Permítanme llamarlo $\mathcal{E}$. Es claro que para cada entero solución de LHS, hay una correspondiente racional punto de $(X,Y)$$\mathcal{E}$.

Para extraer información acerca de $\mathcal{E}$, nos alimentamos siguientes comandos a la línea de CAS MAGMA:

Q<x> := PolynomialRing(Rationals());  
E00:=EllipticCurve(x^3-432);  
E00;  
MordellWeilShaInformation(E00);  
Generators(E00);  

Nos encontramos con $\mathcal{E} : Y^2 = X^3 - 432$ tiene las siguientes propiedades:

• El rango de $\mathcal{E}$ $0$ - esto significa $\mathcal{E}$ tiene a lo sumo un número finito de puntos racionales.
• La torsión de los subgrupos de $\mathcal{E}$ es isomorfo a $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ significa $\mathcal{E}$ tiene dos no trivial de puntos racionales.
• $(12,36)$ es un generador de la torsión de los subgrupos - esto implica que los dos no trivial de puntos racionales de $\mathcal{E}$ $$(X,Y) = (12,36) \;\text{ or } (12,-36)$$

Traducir esto en términos de $x,y,z$, esto significa que las soluciones integrales de

$$y^6 - 4x^3 + 3z^2 = 0,\quad y \ne 0$$ todos tiene la forma

$$x = y^2\quad\text{ and }\quad z = \pm y^3$$

If one further impose the condition that $x,y,z$ son pares de co-primer enteros positivos, esto nos deja una y sólo una de las posibilidades. Es decir, $x = y = z = 1$.

Método 2 - Último Teorema De Fermat

Deje $x,y,z$ ser cualquier pares de co-primer entero positivo solución de la ecuación $$y^6 - 4x^3 + 3z^2 = 0$$ Vamos $A = y^3+z$, $B = y^3-z$ y $C = 2xy$, tenemos $$A^3 + B^3 = (y^3 + z)^3 + (y^3 - z)^3 = 2y^3(y^6 + 3z^2) = (2xy)^3 = C^3$$ Con el fin de no contradecir con el último Teorema de Fermat, necesitamos $B = 0$. Esto significa $y^3 = z$. Junto con el requisito de $\gcd(y,z) = 1$, nos encontramos con $y = z = 1$, por lo que $x$.