Ejemplos canónicos de estructuras algebraicas

Question

Por favor una lista de algunos ejemplos de los ejemplos más comunes de estructuras algebraicas. Yo estaba pensando en las respuestas de la siguiente forma.

"Cuando leí acerca de un [insertar estructura de aquí], que inmediatamente piensan de [ejemplo]."

O tal vez usted piensa acerca de un pequeño número de ejemplos. Por ejemplo, cuando alguien dice "grupo", tal vez usted piensa en un ejemplo de un grupo abelian y un ejemplo de no-abelian grupo. Tal vez usted tiene una lista de ejemplos de probar nuevos teoremas.

Soy un analista de formación. Cuando leí el álgebra, puedo seguir la lógica de línea por línea, pero no tengo el repertorio de ejemplos en mi cabeza que tengo para el análisis y por lo tanto es difícil para mí a la imagen de cualquier cosa.

Answer 1

Un montón de buenas respuestas. Pensé que había que tirar en una lista de no-ejemplos, ya que estos son muy útiles también. (Estos son todos los no-ejemplos, nada de fantasía.)

No Noetherian anillo con sólo un primer ideal: (k[x.

Un no-Cohen-Macaulay anillo: ₁.

Una categoría que no tiene productos: la categoría de los campos con campo homomorphisms.

Un anillo que no es plano sobre otro anillo: , x y ₂.

Dos dos-cero anillos cuyo tensor de producto es cero: , x y ₃

Answer 2

Módulo proyectivo: dado un paquete del vector en un espacio de hausdorff compacto, el espacio del vector de secciones continuadas del haz es un módulo proyectivo sobre el álgebra de funciones continuas en el espacio.

Answer 3

A menudo pienso en "universal ejemplos". Esto es útil porque entonces usted puede probar algo que en el caso general - al menos teóricamente - con sólo mirar estos ejemplos.

Semigroup: $\mathbb{N}$ con $+$ o $*$

Grupo: Automorphism grupos de conjuntos ($Sym(n)$) o de los poliedros (por ejemplo, $D(n)$).

Virtual cíclico grupo: Semidirect productos de $\mathbb{Z} \rtimes \mathbb{Z}/$n.

Abelian grupo: $\mathbb{Z}^n$

No finitely generado grupo: $\mathbb{Q}$

Divisible grupo: $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$

Anillo: $\mathbb{Z}[x_1,...,x_n]$

Clasificados de anillo: Singular cohomology de un espacio.

Anillo sin unidad: $2\mathbb{Z}$, $C_0(\mathbb{N})$

No conmutativa anillo: Endomorphisms de abelian grupos, tales como $M_n(\mathbb{Z})$.

No noetherian anillo: $\mathbb{Z}[x_1,x_2,...] de dólares.

Anillo con divisores de cero: $\mathbb{Z}[x]/x^2$

Director de ideal de dominio que no es euclidiana: $\mathbb{Z}[(1+\sqrt{-19})/2]$

Finito de anillo: $\mathbb{F}_2^n$.

Anillo Local: Campos, y el $p$-adics $\mathbb{Z}_p$

No liso $k$-álgebra: $k[x,y]/(x^2-y^3)$

Campo: $\mathbb{Q}, \mathbb{F}_p$

Extensión de campo: $\mathbb{Q}(i) / \mathbb{Q}, k(t)/k$

Módulo: secciones de un vector paquete. Gratis <=> trivial. Punto de <=> espacio vectorial.

Plana o no plana módulo: $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{Z}/2$ más de $\mathbb{Z}$

Localmente gratuito, pero no libre de módulo: $(2,1+\sqrt{-5})$ más de $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$

... tal vez debería parar aquí, esta es una lista infinita.

Answer 4

Pregunta aseado...

Grupo abeliano: Z o Z/nZ

Nonabelian Grupo: Grupos de diedro o GL_n

Anillo comutativo: Z o C [x]

Anillo no conmutativo: Anillos de matriz

Anillo de división: Quaternions de Hamilton

Campo: R o C

Álgebra de mentira: sl_2

Answer 5

Una más abstracta versión de la "matriz de anillo" es el endomorfismo anillo de un módulo. Si usted toma su módulo libre módulo a través de R, entonces se obtiene la matriz de los anillos, pero hay un montón de otros ejemplos de módulos a los que merece la pena pensar. Este es mi go-to de ejemplo, cuando necesito un anillo que no es necesariamente conmutativo.

Había otra pregunta pidiendo varios ejemplos de módulos. Además de la libre módulos, la próxima más fácil de R-módulos por un anillo R son ideales I y anillos cociente R/I. En particular, recordando que abelian grupos son Z-módulos es útil.

El estándar de "geométrica" principal ideal de dominio es k[X], para k un campo. El estándar de "geométrica", UFD es un polinomio de anillo sobre un campo (o más de una unidad flash usb). Así que si quieres una unidad flash usb que no es un PID, usted tiene un montón de opciones, como k[X, Y] Z[X]. Si desea una integral de dominio que no es un disco flash usb, se puede pensar en el anillo de coordenadas de un genérico afín variedad.