Encuentra el número de posibles matrices 4x4 tales que :

Question

Encuentra el número de posibles matrices 4x4 tales que :

1) cada fila tiene dos 0 y dos 1
2) cada columna tiene dos 0 y dos 1

ejemplo : $$\large \begin{pmatrix} 1&1&0&0\\1&1&0&0\\0&0&1&1\\0&0&1&1\end{pmatrix}$$

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Estoy recibiendo $90$ contando todos los casos manualmente y se tardó 2 horas. ¿Hay alguna manera de resolver este problema? Además, sé que la primera fila se puede organizar en $\binom{4}{2}$ maneras

Answer 1

Si sólo buscas las matrices con $1,1,0,0$ en la fila superior, entonces cada una de esas matrices tiene otras cinco, que se obtienen barajando las columnas.
Como la primera columna comienza con un 1, hay tres posiciones para el otro 1 en esa columna. Por lo tanto, si sólo se buscan matrices con $1,1,0,0$ en la fila superior y $1,1,0,0$ en la primera columna, cada una de ellas es una de las 18 matrices que se obtienen barajando las cuatro columnas y barajando las tres filas inferiores.
Ahora sólo tienes que demostrar que hay cinco formas de completar el cuadrado.