Ecuación del calor con una condición de contorno integral

Question

He estado luchando con el seguimiento de la ecuación de calor IBVP, \begin{equation} \frac{\partial v\left(x, t\right)}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 v\left(x, t\right)}{\partial x^2}, \quad t \in \left(0, T\right], x \in \left(- \infty, 1\right]. \label{heatEqn} \end{equation} con las siguientes condiciones iniciales y de contorno \begin{equation} v\left(x, 0\right) = \delta\left(x\right), \quad v\left(-\infty, t\right) = 0, \quad \int_{-\infty}^{1}v\left(x, T\right) dx = \beta T^{\alpha-1} \end{equation} donde $\alpha \in \left(0, 1\right)$ y $\beta$ es una constante positiva.

Alguna observación interesante sobre este problema, si consideramos el plano semi-infinito $x \in \left(- \infty, 1\right]$ $\times$ $t \in \left[0, T\right]$ conocemos las integrales de línea a lo largo de tres de los límites de este rectángulo, como en $\int_{-\infty}^{1}v\left(x, 0\right) dx = 1$ , $\int_{0}^{T}v\left(-\infty, t\right) dt = 0$ y la condición de contorno con la ecuación integral anterior.

También si podemos deducir $v\left(1, t\right)$ y $\frac{\partial v\left(x, t\right)}{\partial x}|_{x = 1}$ entonces podemos atacar el problema utilizando la transformada de Laplace.

Me pregunto si existe una versión del Teorema de Greens o de la Divergencia que pueda aplicarse para abordar este problema.

Cualquier ayuda u orientación será muy apreciada. Gracias.

Answer 1

Aquí está la respuesta a su pregunta modificada a través de un enfoque potencial pero más simple que el propuesto en los comentarios.

Denote $Z(x,t)=(4\alpha\pi t)^{-1/2} e^{-x^2/(4\alpha t)}$ la solución fundamental de la ecuación del calor. Escribiré $t$ en lugar de $T$ en la pregunta. Restando $Z(x,t)$ de $v$ reduce la condición inicial a cero y la integral a $$ \beta t^{\alpha-1}-\int_{-\infty}^1Z(x,t)\,dx= \beta t^{\alpha-1}-\frac{1}{2} \left(\text{erf}\left(\frac{1}{2 \sqrt{\alpha t}}\right)+1\right):=g(t). $$ Desplazamiento del límite lateral a $x=0$ (por comodidad) el problema se convierte en $$ \left\{ \begin{array}{rccl} u_t&=&\alpha u_{xx},&t>0,\ x<0,\\ u|_{t=0}&=&0,\\ \int_{-\infty}^0u(x,t)\,dx&=&g(t),&t>0. \end{array} \right. $$ Su solución puede escribirse explícitamente como un potencial: $$ u(x,t)=2\alpha\int_{-\infty}^0Z_{xx}(x,t-\tau)g(\tau)\,d\tau. $$ Para ver esto considere el potencial de doble capa $$ Wg(x,t)=\int_0^tZ_x(x,t-\tau)g(\tau)\,d\tau. $$ Satisface la ecuación del calor para $x<0$ y para las densidades continuas $g$ tiene una propiedad $$ \lim_{x\to0-}Wg(x,t)=\frac{g(t)}{2\alpha}. $$ En realidad es la relación de salto para el potencial de doble capa en este caso particular.

Para $\varepsilon>0$ tenemos $$ \int_{-\infty}^{-\varepsilon}u(x,t)\,dx= 2\alpha\int_0^t\int_{-\infty}^{-\varepsilon}Z_{xx}(x,t-\tau)g(\tau)\,dx d\tau= $$ $$ 2\alpha\int_0^tZ_{x}(-\varepsilon,t-\tau)g(\tau)\,d\tau= 2\alpha Wg(-\varepsilon,t). $$ Tomando $\varepsilon\to0+$ da el resultado.

La solución del problema inicial es $v(x,t)=u(x-1,t)+Z(x,t)$ .