Encontrar la fórmula del número de pelotas de golf en una pirámide triangular con $n$ capas.

Question

Toni y sus amigos están construyendo pirámides triangulares con pelotas de golf. Escribe una fórmula para el número de pelotas de golf en una pirámide con n capas, si a $1$ -Una pirámide de dos capas contiene 1 bola, una pirámide de dos capas contiene 4 bolas, una de 3 capas contiene 10 bolas, y así sucesivamente.

¿Cuál es la fórmula de esta pregunta y qué pasos hay que seguir para obtenerla?

Answer 1

Si es una pirámide cuadrada, la longitud del lado de cada nivel aumentará en uno cada vez que bajes. Así, el número de bolas en cada nivel es $k^2$ . Por lo tanto, el número total de bolas con $n$ niveles es $\sum\limits_{k=1}^n k^2$

Al simplificar esto se convierte en el Número piramidal cuadrado que es $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Si es un tetraedro, la longitud del lado de cada triángulo en cada nivel aumentará en uno cada vez que bajes. Por lo tanto, el número de bolas en cada nivel es $T(k)$ El $k^{th}$ número de triángulo. Por lo tanto, el número total de bolas con $n$ niveles es $\sum\limits_{k=1}^n T(k)$

Al simplificar esto, se convierte en el $n^{th}$ Número tetraédrico , $\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

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La derivación del número piramidal cuadrado se describe en el artículo de la wiki enlazado. Para demostrar la derivación del número tetraédrico, primero hay que tener en cuenta que $T(k) = \sum\limits_{i=1}^k i = \frac{k(k+1)}{2}$ , donde $T(k)$ denota el $k^{th}$ número de triángulo.

Por lo tanto, el $n^{th}$ número tetraédrico es $\sum\limits_{k=1}^n T(k) = \sum\limits_{k=1}^n \frac{k(k+1)}{2} = \frac{1}{2}\sum\limits_{k=1}^n k^2 + k = \frac{1}{2}(P(n)+T(n))$ donde $P(n)$ denota el $n^{th}$ número piramidal.

Esto se simplifica en $\frac{1}{2}(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2})$ que después de un poco de álgebra se simplifica a la fórmula dada anteriormente.

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Para encontrar el número del triángulo, $T(n)$ Esto es $1+2+3+\dots+(n-1)+n$ . Por el momento no sabemos cuál es el total, ya que estamos elaborando una fórmula para ello. Supongamos que le damos un nombre al total, $T(n)$ . Entonces $T(n)=1+2+3+\dots+(n-1)+n$ .

Probamos a multiplicarlo por dos para ver qué pasa.

$2T(n)=2(1+2+3+\dots+(n-1)+n)$

$= (1+2+3+\dots+(n-1)+n) +(1+2+3+\dots+(n-1)+n)$

$=(1+2+3+\dots+(n-1)+n) +(n+(n-1)+\dots+3+2+1)$ invirtiendo el orden del segundo paréntesis

$=(1+n)+(2+(n-1))+\dots+((n-1)+2)+(n+1)$ agrupando los términos que aparecen en el paréntesis.

$=(n+1)+(n+1)+\dots+(n+1) = n(n+1)$

Recordando que este fue el total de $2T(n)$ dividimos por dos para obtener

$T(n)=\frac{n(n+1)}{2}$

Answer 2

Cada capa es un número triangular $\binom n2=\frac{n(n-1)}2 = \sum_{i=0}^{n-1}i$ donde el lado del triángulo contiene $n-1$ bolas. Nótese que la segunda igualdad es un caso especial de la identidad general $$ \sum_{i=0}^{n-1}\binom ik =\binom n{k+1} $$ que se puede demostrar por una fácil inducción utilizando la recurrencia de Pascal $\binom nk+\binom{n-1}k=\binom n{k+1}$ . Aplicándolo para $k=2$ da $$ \sum_{i=0}^{n-1}\binom i2 =\binom n3 $$ que es el número de bolas de una pirámide tetraédrica de lado $n-2$ . Así que el número que buscas es $$\binom{n+2}3=\frac{n(n+1)(n+2)}6.$$

Generalizando, entonces el número en la dimensión $d$ es $\binom{n+d-1}d$ . Como ese número es bien conocido para contar el $d$ -multisets en un $n$ -conjunto de elementos (es decir, formas de seleccionar $d$ elementos de un total de $~n$ con la selección múltiple de un mismo elemento permitida), uno podría preguntarse si hay una manera de etiquetar de forma única las pelotas de golf con tales conjuntos múltiples. He aquí una forma de hacerlo. Disponga el multiconjunto como $(c_1,\ldots,c_d)$ en orden débilmente decreciente, por lo que se tiene $n\geq c_1\geq c_2\geq\cdots\geq c_d>0$ ; entonces deja que $c_1$ seleccionar el tamaño de la "capa" en el nivel exterior, y dejar $(c_2,\ldots,c_d)$ seleccionar recursivamente una bola de golf en este $d-1$ -capa de dimensiones.