representación de Galois local a global

Question

Dejemos que $\rho_p : \mbox{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}_p / {\mathbb{Q}_p}) \to \mbox{GL}_n(\mathbb{Q}_p)$ sea una de Rham $p$ -representación de los enfermos. ¿Se puede encontrar una representación $\rho : \mbox{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}) \to \mbox{GL}_n(\mathbb{Q}_p)$ tal que $\rho$ es geométrica (en el sentido de Fontaine-Mazur) y tal que la restricción de $\rho$ a $\mbox{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}_p / {\mathbb{Q}_p})$ es $\rho_p$ ?

Answer 1

No. Hay un número incontable de representaciones no ramificadas del grupo de Galois local a $\mathbb{Q}^{\times}_p$ ya que Frobenius puede ser enviado a cualquier cosa en $\mathbb{Z}^{\times}_p$ . Sin embargo, sólo hay un número contable de representaciones globales de esta forma, ya que, según la teoría de los campos de clase, todas ellas son un factor a través del grupo de Galois de un campo ciclotómico (finito).

La imagen general es prácticamente la misma: las representaciones locales de Galois forman grandes $p$ -familias analíticas de la adicción, sin embargo, asumiendo la conjetura de Fontaine-Mazur, sólo hay un número contable de representaciones geométricas.