Número de formas de elegir al menos $k$ objetos fuera de $n$

Question

Supongamos que tiene tres elementos distintos $a$ , $b$ , $c$ . Quieres encontrar cuántos conjuntos únicos puedes conseguir eligiendo al menos un artículo. Por ejemplo, $\{a\}$ formarían un conjunto único, y $\{a, b\}$ formarían un conjunto único. Por supuesto, no puedes elegir más de tres elementos, pero tienes que elegir al menos uno. ¿Cuál es la fórmula para esto en el caso general?

Al principio probé la fórmula combinada, pero me di cuenta de que no se aplica porque $n$ elija $k$ requiere que elija exactamente $k$ artículos. Entonces, ¿cuál es la fórmula para el $n$ pero variado $k$ (dado el máximo para $k$ )?

Answer 1

Bueno, para obtener el número de formas de elegir al menos $k$ de un conjunto de $n$ la fórmula $$\sum_{i=k}^n\binom{n}{i}=\underbrace{\binom{n}{k}}_{\substack{\text{ways of choosing}\\\text{exactly }k}}+\underbrace{\binom{n}{k+1}}_{\substack{\text{ways of choosing}\\\text{exactly }k+1}}+\;\;\cdots\;\;+\underbrace{\binom{n}{n}}_{\substack{\text{ways of choosing}\\\text{exactly }n}}$$ funciona, pero tal vez no es lo suficientemente "cerrado" para sus preferencias?