$\ell_\infty$ un espacio de Grothendieck

Question

El problema que estoy considerando declaró formalmente es este:

Demostrar que si una secuencia en $\ell_\infty^*$ es débil*-convergente, entonces también es débilmente convergente. Podemos reducir esto para el caso de que la secuencia es débil$^*$nulo, y demostrar que es débilmente null.

Este es un caso especial de un resultado de Grothendieck de los años 50. Se trata de un interno de la caracterización de lo que ahora se llama un Grothendieck espacio (Un espacio de Banach $X$ es Grothendieck si cada débiles$^*$-convergente secuencia en la $X^*$ es débilmente convergente).
En su "curriculum vitae," Grothendieck demuestra que $C(K)$ $K$ un extremally desconectado (también llamado Stonian) espacio compacto satisface esta propiedad. Ya podemos representar a $\ell_\infty$$C(\beta\mathbb{N})$, el espacio de funciones continuas en el Stone-Cech compactification de los números naturales (que es Stonian), que satisface esta propiedad.

Así que mis preguntas son

1) Si usted sabe la técnica general para demostrar esta propiedad para $C(K)$ espacios como se mencionó anteriormente me podría dar una breve indicación, y también

2) ¿hay algo en este ejemplo en particular que podría hacer que sea más fácil de tratar que el general $C(K)$?

De cualquier manera supongo que hemos de ser capaces de trabajar a ciegas con elementos de $\ell_\infty^{**}$ ya que no podemos así que la caracterizan, o puede haber alguna otra manera de mostrar la debilidad de la convergencia. (O también creo que podemos decir que en más de una lengua moderna que $\ell_\infty^{**}$ lo que es es un álgebra de von Neumann si que es útil a todos).

Answer 1

He aquí un resumen de Grothendieck del argumento tomado de Théorème 9 en la página 168 en el Sur les aplicaciones linéaires faiblement compactes d'espaces du tipo de $C(K)$, el Canadiense J. Math. 5 (1953), pp 129-173. También describe un argumento similar en el Ejercicio 12 2) de la parte IV del capítulo 4 de su libro Espacios Vectoriales Topológicos (página 229 de 1973 Gordon y en la Violación de edición).

Muy brevemente, el original de la prueba utiliza un par de reducciones: en primer lugar la reducción de un general $C(K)$ espacio $K$ extremally desconectado para el caso de $\ell^{\infty}(S) = C(\beta S)$ (podemos tomar $S = K_\delta$, el conjunto subyacente $K$ equipado con la topología discreta); a continuación, aplicar Grothendieck del criterio de compacidad débil de los conjuntos de medidas, que permite reducir para el caso de $\ell^{\infty}(\mathbb{N})$ y, finalmente, a la conclusión mediante la aplicación de un resultado debido a Phillips en finitely aditivo medidas en $\mathbb{N}$ a concluir.

El resultado en la Grothendieck propiedad de $\ell^\infty$ es esencialmente este lema de Phillips, por lo que es mucho más fácil, pero al mismo tiempo es un ingrediente básico de Grothendieck del argumento.

---

Así que aquí está el resumen en más detalle:

1. Recordemos que $C(K)$ es isométricamente inyectiva si (y sólo si!!!) $K$ es extremally desconectado. Esto significa que $C(K)$ $1$- complementa en cada espacio que la contiene. Prueba de ello es, por ejemplo, como los Teoremas de 4.3.6 y 4.3.7, pp 81ff en Albiac–Kalton, Temas en el espacio de Banach de la teoría.

   Esto nos dice que $C(K)$ $1$- complementa en $\ell^\infty(K)$, el espacio de la delimitadas las funciones en $K$.

2. Fijemos una descomposición $\ell^{\infty}(K) = C(K) \oplus Z$, y supongamos ahora que tenemos una secuencia $\mu_n$ $M(K) = C(K)^\ast$ convergentes a cero en los débiles$^\ast$-topología. El fijo de la descomposición de $\ell^{\infty}(K)$ nos permite considerar esto como una secuencia de funcionales $\mu_n \in \ell^{\infty}(K)^\ast$ satisfacción $\mu_n(f) \to 0$ todos los $f \in \ell^{\infty}(K)$. En otras palabras, podemos considerar ahora $\mu_n$ como débiles$^\ast$-convergente secuencia de medidas en $\beta K_\delta$, la Piedra–Čech compactification del espacio discreto $K_\delta$.

3. Estamos ahora en posición de aplicar Grothendieck débiles de compacidad criterio para $M(X)$ donde $X$ es localmente compacto para la secuencia de $\mu_i$ de las medidas en $C(\beta K_\delta)$ (este es el Teorema 2 en la página 146 de G. del artículo mencionado al principio; véase también el Teorema 5.3.2 en la página 112 de Albiac–Kalton):

   Si $\mu_i$ no converge débilmente a cero, podríamos encontrar $\varepsilon \gt 0$, un subsequence $(\mu_j)_{j \in J}$ y la secuencia de pares distintos clopen conjuntos de $U_j$ tal que $|\mu_j(U_j)| \geq \varepsilon$. Desde funciones características de clopen conjuntos son continuas, podemos traducir esta vuelta a $\ell^\infty(K)$ y obtener una secuencia de finitely aditivo medidas de $\mu_j$ $K$ y pares de subconjuntos disjuntos $V_j \subset K$ tal que $|\mu_j(V_j)| \geq \varepsilon$. Esto lleva a una contradicción:

4. Definir $\nu_j \in \ell^{\infty}(J)^\ast$ a ser el finitely aditivo de medida $\nu_j(B) = \mu_j\left( \bigcup_{b \in B} V_b\right)$ todos los $B \subset J$. La hipótesis de la secuencia $\mu_i$ implica que el $\nu_j(B) \to 0$ todos los $B \subset J$. Con el Lema 3.3 en la página 525 de Phillips, En transformaciones lineales, Trans. Amer. De matemáticas. Soc. 48 (1940), 516-541 esto lleva a $$\lim_{j \to \infty} \sum_{b \in J} |\nu_j(b)| = 0,$$ así, en particular, tenemos $|\nu_j(j)| \to 0$, lo que contradice $|\nu_j(j)| = |\mu_j(A_j)| \geq \varepsilon$ todos los $j \in J$.

---

Yo no sé mucho acerca de las álgebras de operadores, pero este argumento aquí se ve como un lugar de atacar directamente el problema y no creo que el resultado sería más fácil o más transparente mediante el uso de métodos del álgebra de operadores; esperemos que alguien más familiarizado con tales reformulaciones será capaz de contradecir a mi evaluación.