Demuestre que la correlación serial en los términos de error hace $X_t e_t$ un no-MDS

Question

Dada la regresión simple $$Y_t = \beta X_t + e_t$$ , con $$e_t = \epsilon_t + \theta_1 \epsilon_{t-1} + \theta_2 \epsilon_{t-2}, \epsilon_t \sim WN(0, \sigma^2)$$ y $$X_t iid, X_s \perp e_t \forall s,t$$ Es ${X_t e_t}$ una secuencia de diferencia de Martingala con respecto a $F_{t-1}=(X_{t-1}, e_{t-1}, X_{t-2}, e_{t-2}, ...)$ ?

Este es mi intento hasta ahora:

$E(X_t e_t | F_{t-1}) = E(X_t E(e_t|F_{t-1}, X_t)|F_{t-1})$

En el caso de la falta de correlación en serie, $E(e_t|F_{t-1}, X_t)=0$ que conduce a un MDS. En este caso de correlación en serie, sospecho que será diferente de 0, pero no puedo calcular la expectativa con exactitud. En última instancia se reduce a encontrar $E(\epsilon_{t-1}|F_{t-1})$ y $E(\epsilon_{t-2}|F_{t-1})$ que es donde estoy atascado.

Answer 1

$$E[X_t e_t \mid F_{t-1}] = E[X_t(\epsilon_t + \theta_1 \epsilon_{t-1} + \theta_2 \epsilon_{t-2})\mid \{X_{t-1}, e_{t-1}, X_{t-2}, e_{t-2}, ...\}]$$

$$=E[X_t[\epsilon_t + X_t\theta_1 \epsilon_{t-1} + X_t\theta_2 \epsilon_{t-2})\mid \{X_{t-1}, e_{t-1}, X_{t-2}, e_{t-2}, ...\}]$$

$$=E[X_t]\cdot E[\epsilon_t] + \theta_1E[X_t]\cdot E[\epsilon_{t-1}\mid \{e_{t-1}\}] +\theta_2 E[X_t]\cdot E[\epsilon_{t-2}\mid \{e_{t-1}, e_{t-2}\}]$$

El primer término es cero pero los otros dos no lo son: $\epsilon_{t-1}$ no es independiente de $e_{t-1}$ y $\epsilon_{t-2}$ no es independiente de $(e_{t-1}, e_{t-2})$ . Pero la no independencia implica que

$$E[\epsilon_{t-1}\mid \{e_{t-1}\}] \neq E[\epsilon_{t-1}]=0,\;\; E[\epsilon_{t-2}\mid \{e_{t-1}, e_{t-2}\}] \neq E[\epsilon_{t-2}]=0$$

Así que $$E[X_t e_t \mid F_{t-1}] \neq 0$$ y por lo tanto no es una secuencia de diferencia de martingala. No es necesario calcular los valores esperados.