Teorema de Löb y demostrabilidad

Question

Aprendí el teorema de Löb. Según entendí, si un enunciado se forma como "soy demostrable", el enunciado debe ser demostrable.

Quiero preguntar más sobre el teorema de Löb.

Hay dos frases, P y Q.

P: P y Q son demostrables ambos.

Q: P y Q son demostrables ambos.

.

Ahora, ¿podemos demostrar que P y Q son demostrables ambas? ¿Es esto relevante para el teorema de Löb?

Answer 1

El Teorema de Löb dice que,

Si se cumplen ciertas condiciones para la teoría $T$ , entonces si $T \vdash Prov(\overline{\ulcorner\varphi\urcorner}) \to \varphi$ entonces $T \vdash \varphi$ .

(Aquí $\overline{\ulcorner\varphi\urcorner}$ es $T$ para el número formal de $\varphi$ bajo un determinado esquema de codificación: y $Prov$ es un "predicado de demostrabilidad" que expresa adecuadamente la propiedad de numerar un $T$ -en ese esquema. Detalles en cualquier libro de texto)

Aplique esto a una frase de Henkin $H$ que es un punto fijo para el predicado de demostrabilidad, es decir

$T \vdash H \equiv Prov(\overline{\ulcorner H\urcorner})$

(así $H$ como que dice "soy demostrable"), y es inmediato que

$T \vdash H$ .

Ahora: supongamos (¡sólo supongamos!) que tenemos un par de frases $P, Q$ tal que

$T \vdash P \equiv Prov(\overline{\ulcorner (P \land Q) \urcorner})$

$T \vdash Q \equiv Prov(\overline{\ulcorner (P \land Q) \urcorner})$ .

Así que $P$ como que dice " $P \land Q$ es demostrable" y lo mismo para $Q$ . Entonces, trivialmente, también tendríamos

$T \vdash (P \land Q) \equiv Prov(\overline{\ulcorner (P \land Q) \urcorner})$ .

Entonces, por el Teorema de Löb de nuevo, tendríamos

$T \vdash (P \land Q)$ y por lo tanto $ T \vdash P$ y $T \vdash Q$ .

Pero no hay ningún interés novedoso en esto, por lo que veo.