Encontrar la extensión de la función y su existencia única.

Question

Dejemos que $$A= \left\{\frac j{2^n}\in [0,1] \mid n = 1,2,3,\ldots,\;j=0,1,2,\ldots,2^n\right\} $$ y que $$ f:A\rightarrow R $$ satisfacen la siguiente condición:

Hay una secuencia $ \epsilon_n \gt 0 $ con $\sum_{n=1}^\infty \epsilon_n \lt \infty $ y $$\left|f\left(\frac{j-1}{2^n}\right)-f\left(\frac j{2^n}\right)\right| \lt \epsilon_n $$ para todos $ n\gt0, j=1,2,\ldots,2^n $ .

Demostrar que $f$ tiene una extensión única a una función continua de $[0,1]$ a $R$ .

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Creo que tal vez esté relacionado con el mapeo de la contracción.

Pero, no he podido aplicar esa tesis en este problema.

¿Hay alguien que pueda demostrarlo?

p.d. El formato es ayudado por @Math1000. Se lo agradezco.

Answer 1

Una respuesta alternativa que utiliza algo del método de Alex Ravsky, pero que se ciñe a los métodos de análisis y, en mi opinión, proporciona una demostración más constructiva:

Para $x \in [0, 1]$ , dejemos que $$x = \sum_{k = 1}^{\infty} \omega_{k}(x) 2^{-k},\; \omega_{k} \in \{0, 1 \}$$ Es decir, supongamos que $(\omega_{k}(x))_{k \in \mathbb{N}}$ es la expansión binaria de $x$ y definir la extensión de $f$ por $$f(x) = \lim_{n \to \infty} f\left(\sum_{k = 1}^{n} \omega_{k}(x) 2^{-k}\right).$$ Afirmamos primero que la secuencia converge demostrando que es Cauchy para una $x \in [0, 1]$ que ahora arreglamos. Sea $\epsilon > 0$ , y elegir $N \in \mathbb{N}$ de manera que si $n \geq N$ entonces $\sum_{k = n}^{\infty} \epsilon_{n} < \epsilon$ . Escoge $m, n \geq N$ . Entonces, como señala Ravsky, \begin{align*} \left|f\left(\sum_{k = 1}^{n}\omega_{k}(x) 2^{-k}\right) - f\left(\sum_{k = 1}^{m}\omega_{k}(x) 2^{-k}\right)\right| & < \epsilon \end{align*}

Boom. Cauchy, y por tanto convergente, por lo que nuestra extensión está definida. Ahora, dejemos que $|y - x| < 2^{-(N + 2)}$ . Habiendo elegido $x$ y $y$ lo suficientemente cerca, tenemos que $\omega_{k}(x) = \omega_{k}(y)$ para todos $k \leq N$ . Así, $$|f(x) - f(y)| \leq \sum_{k = N + 1}^{\infty} \epsilon_{k} < \epsilon,$$ completando la prueba de continuidad.