Funciones compuestas, funciones inversas y biyecciones

Question

Dejemos que $f: A \rightarrow B$ . Supongamos que $g, h:B \rightarrow A$ para que $f \circ g = I_B$ y $h \circ f = I_A$ . Demostrar que $f$ es una biyección y $g=h=f^{-1}$ .

$I_A $ y $ I_B$ denotan las funciones de identidad de los conjuntos $A$ y $B$ .

Llevo un tiempo trabajando en este, y no entiendo muy bien cómo mostrarlo

Answer 1

$$h=h\circ I_B=h\circ(f\circ g)=(h\circ f)\circ g=I_A\circ g=g$$

la subjetividad:

$b=f(g(b))$ para cada $b\in B$

la inyectabilidad:

Si $f(a_1)=f(a_2)$ entonces $a_1=h(f(a_1))=h(f(a_2))=a_2$

Answer 2

Una pista:

Para demostrar que $f$ es una biyección, basta con demostrar que es inyectiva y sobreyectiva. Intenta utilizar $f\circ g = I_B$ para demostrar que $f$ es suryente y $h\circ f = I_A$ para demostrar que $f$ es inyectiva.