Generalización del teorema de Kronecker-Weber: ¿una extensión abeliana es siempre ciclotómica?

Question

Es bien sabido que cualquier extensión abeliana de $\Bbb Q$ está contenido en algún campo ciclotómico $\Bbb Q(\zeta_n)$ . Mi pregunta se refiere a la afirmación más general:

Si $L/K$ es una extensión abeliana, ¿tenemos $L \subset K(\zeta_n)$ , donde $\zeta_n \in \overline K$ es una raíz de $X^n-1$ (para algunos $n \in \Bbb N$ ) ?

Por ejemplo, cualquier extensión abeliana de $\Bbb Q_p$ está contenido en algún campo ciclotómico $\Bbb Q_p(\zeta_n)$ . Además, se mantiene cuando $K$ es un campo finito (los grupos de Galois son cíclicos, y cualquier elemento no nulo es una raíz de la unidad).

Creo que la afirmación es errónea, pero no he sido capaz de dar un contraejemplo.

¡Muchas gracias!

Answer 1

Esto es falso para cada campo numérico $K$ que no sea $\mathbf Q$ . La prueba general utiliza ideas relacionadas con la teoría de los campos de clase.

Como ejemplo concreto, consideremos la extensión cuadrática $\mathbf Q(\sqrt[4]{2})/\mathbf Q(\sqrt{2})$ . Desde $\mathbf Q(\sqrt{2})$ está dentro de una extensión ciclotómica de $\mathbf Q$ , es decir, está en $\mathbf Q(\zeta_8)$ cualquier extensión ciclotómica de $\mathbf Q(\sqrt{2})$ está dentro de una extensión ciclotómica de $\mathbf Q$ . Por lo tanto, cualquier extensión ciclotómica de $\mathbf Q(\sqrt{2})$ es una extensión abeliana de $\mathbf Q$ . Desde $\mathbf Q(\sqrt[4]{2})$ no es abeliano (ni siquiera Galois) sobre $\mathbf Q$ no está contenida en una extensión ciclotómica de $\mathbf Q(\sqrt{2})$ .

Se pueden hacer muchos más contraejemplos sustituyendo $\mathbf Q(\sqrt{2})$ con otras extensiones abelianas de $\mathbf Q$ .

Answer 2

No.

Considere la ampliación $\mathbb{Q}(t^{1/2})$ del campo $\mathbb{Q}(t)$ . Es una extensión del grado $2$ y, por tanto, es abeliano. Sin embargo, añadiendo cualquier raíz de la unidad $\zeta$ a $\mathbb{Q}(t)$ le dará el campo $(\mathbb{Q}(\zeta))(t)$ en el que $t$ no tiene raíz cuadrada.