Dada una solución general, encontrar su ecuación diferencial.

Question

Así que, normalmente, una pregunta de ecuaciones diferenciales pide encontrar una solución general. Pero esto es al revés.

Tengo una solución general $$y=\frac{1}{c_1 \cos x+c_2 \sin x},$$ y quiero encontrar la ecuación diferencial para ello. Esto, creo, se trata de encontrar $c_1$ y $c_2$ . Entonces, calculé la derivada, $$y'=\frac{c_1 \sin x -c_1 \cos x}{(c_2 \sin x+c_2 \cos x)^2}.$$

Ahora, es el momento de restar $y-y'$ y dejar que se cancelen para encontrar $c_1$ , $c_2$ ¿verdad? ¿O el siguiente paso es encontrar $y''$ y ver si tienen condiciones de anulación y encontrar $c_1$ y $c_2$ ?

Answer 1

$$y=\frac{1}{c_1 \cos x+c_2 \sin x}$$ $$\dfrac 1 y={c_1 \cos x+c_2 \sin x}$$ Sustituir $u=1/y$ : $$u={c_1 \cos x+c_2 \sin x}$$ $$u''+u=0$$ Ahora es más fácil..

Answer 2

Se puede reconocer la solución de la recíproca de y, no repetirla.

Los primos son la diferenciación con respecto a $x$

$$\dfrac 1 y={c_1 \cos x+c_2 \sin x}$$ $$\left(\frac{1}{y}\right)'' + \left(\frac{1}{y}\right)=0$$ $$\left(\frac{y^2y''-2y y^{'2}}{y^4}\right) + \left(\frac{1}{y}\right)=0$$ $$y y''-2 y^{'2}+y^2=0.$$

Answer 3

$$\frac 1{y\cos x}=c_1+c_2\tan x\to-\frac{y'\cos x-y\sin x}{y^2\cos^2x}=\frac{c_2}{\cos^2\theta}\iff-\frac{y'\cos x-y\sin x}{y^2}=c_2.$$ Así que diferenciando de nuevo el numerador se obtiene $$(y''\cos x-2y'\sin x+y\cos x)y^2-2(y'\cos x-y\sin x)yy'=0,$$ o después de la simplificación $$y''y-2y'^2+y^2=0.$$

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Esta es una técnica general que suele funcionar: aislar una de las constantes como término y diferenciar. Eso hace que desaparezca.