Si $A,B,C,D$ son números complejos en el círculo unitario con $A+B+C+D=0$, entonces se forma un rectángulo

Question

Deje $A, B, C, D$ puntos en un círculo unitario. Probar que si $A+B+C+D=0$, $A,B,C,D$ hacer un rectángulo. (Uso de números complejos.)

¿Cómo puedo demostrarlo? Traté de usar el producto escalar de 2 lados adyacentes, pero tengo una fea expresión trigonométrica.

Answer 1

Supongo que la suposición es que el $A,B,C,D$ son todos distintos, de lo contrario no es necesariamente cierto.

Aquí es un puro número complejo sólo la prueba.

Suponga que $A+B \ne 0$$A + D \ne 0$. Vamos a demostrar que esto implica que $A + C = 0$.

Desde $$A+B+C+D = 0 \quad \quad (1)$$ we must have that $$\overline{A} + \overline{B} + \overline{C} + \overline{D} = 0$$ where $\overline{z}$ is the conjugate of $z$ y por lo tanto

$$\frac{1}{A} + \frac{1}{B} + \frac{1}{C} +\frac{1}{D} = 0 \quad \quad \quad (2)$$

$(1)$ $(2)$ implica que $$A + B = -(C+D) $$ y $$\frac{A+B}{AB} = -\frac{C+D}{CD}$$

y así $$AB = CD\quad \quad \quad (3)$$ (because $a+B \neq 0$).

Similarmente, porque $A + D \ne 0$, obtenemos $$AD = BC\quad \quad \quad (4)$$

Ahora $(3)$ $(4)$ implica (solo hay que dividir) que $B^2 = D^2$ y, por tanto,$B+D = -(A+C) = 0$.

Ahora girar el avión alrededor del origen, de modo que $\overline{A} = D$. (Esto siempre es posible).

Desde la rotación es simplemente multiplicar por algunos distinto de cero $w$, todavía tenemos que $A+C = 0$

Así tenemos que $D = \overline{A} $, $C = -A$ y $B = -\overline{A}$ e lo $A,B,C,D$ en forma de rectángulo.

Answer 2

Deje $A+B = 2x$. A continuación,$C+D = -2x$. Mediante la rotación de los cuatro puntos (es decir, multiplicando a ambos lados de las dos ecuaciones por $e^{-i\arg x}$), podemos suponer que WLOG que $x$ es real. Por lo tanto $A,B,C,D$ deben tomar las siguientes formas: \begin{align*} A&=x+iu,\\ B&=x-iu,\\ C&=-x+iv,\\ D&=-x-iv, \end{align*} donde $u$ $v$ son números reales. Como $|A|=|C|=1$, se deduce que el $|u|=|v|=\sqrt{1-x^2}$. Por lo tanto $BACD$ es un rectángulo si $v=u$ o $BADC$ es un rectángulo si $v=-u$.

Answer 3

La suma de dos vectores unitarios, se encuentra en la recta que biseca el ángulo entre ellos, y la longitud de la suma determina el ángulo.

Tener dos iguales y opuestas, de las sumas de las fuerzas de la existencia de una simetría relacionados con un par de sumandos a los otros. Cuatro puntos en un círculo que puede ser dividido en dos pares relacionados por una simetría, en forma de rectángulo.

Tal vez me estoy perdiendo una solución extremadamente simple con números complejos, pero esto parece ser de una geometría pura problema donde los números complejos no ayudan mucho. Por supuesto, usted puede probar la geometría de las declaraciones de uso de los números complejos, como un ejercicio.

Answer 4

Bien, si realmente quieres una prueba que utiliza los números complejos...

Si $A+B \not =0, A+C \not =0$, $$(\frac{A+B}{2}) \cdot (A-B)=0$$ $$(\frac{A+B}{2}) \cdot (C-D)=(-\frac{C+D}{2}) \cdot (C-D)=0$$ (Aquí estamos usando el producto escalar)

Desde $A+B \not =0$, entonces el vector representado por $(\frac{A+B}{2})$ es perpendicular a $AB,$$CD$, lo $AB//CD$. Del mismo modo $AC//BD$, ya que el $A+C \not =0$. Por lo tanto $ABDC$ es un paralellogram, por lo $A-B=C-D$ (desde $A-B \not =D-C$), dando a $A+D=B+C=0$.

Por lo tanto, $A+B=0, A+C=0,$ o $A+D=0$.

Por simetría, es suficiente para considerar al $A+B=0$, luego $C+D=0$. $(A-C) \cdot (B-C)=(A-C) \cdot (-A-C)=0$ por lo $AC \perp BC$. De manera similar a los otros 3 ángulos también son ángulos rectos, de modo que podamos obtener un rectángulo.

Answer 5

otra forma es decir $A=cosQ1+isinQ1,B=cosQ2+isinQ2,C=cosQ3+isinQ3,D=cosQ4+isinQ4$, asumimos $0 \leq Q1\leq Q2 \leq Q3\leq Q4 \leq 2\pi$, lo que tienen que no influye en el resultado final. el nuestro objetivo es prueba de $Q3-Q1=Q4-Q2=\pi$

de modo que podemos obtener:

$cosQ1+cosQ2+cosQ3+cosQ4=0,sinQ1+sinQ2+sinQ3+sinQ4=0$, que es:

$sinQ1+sinQ3=-(sinQ2+sinQ4)$......[1]

$cosQ1+cosQ3=-(cosQ2+cosQ4)$......[2]

si [1]=0 , podemos obtener sinQ1=-sinQ3 y sinQ2=-sinQ4, según nuestra hipótesis, podemos obtener $Q3=Q1+\pi$$Q4=Q2+\pi$, por lo que ABCD es rectángulo.

si [2]=0, tenemos $Q3=Q1+\pi $ o $Q3=\pi-Q1$ $Q4=Q2+\pi $ o $Q4=\pi-Q2$.

si $Q3=Q1+\pi$$Q4=Q2+\pi $, luego QED

si $Q3=\pi-Q1$$Q4=\pi-Q2 $, ponemos en [1] y obtener $sinQ1=-sinQ2$,$Q2=\pi+Q1$,que es $Q2 \geq Q3$,sólo al$Q1=0$,$Q2=Q3=\pi,Q4=2\pi$, que es un caso muy especial para el rectángulo.

si $Q3=\pi-Q1$$Q4=Q2+\pi$, poner en {1], tenemos $sinQ1=0$,$Q1=0$$ Q3=\pi$, lo que también significa $Q3-Q1=\pi$ QED

si $Q3=\pi+Q1$$Q4=Q2-\pi$,$Q1=Q2=0, Q3=Q4=\pi$, que también es un caso especial para el rectángulo.

si [1]y [2] son ambos ninguno cero,

[1] se puede $2sin\dfrac{Q1+Q3}{2}cos\dfrac{Q3-Q1}{2}=-2sin\dfrac{Q2+Q4}{2}cos\dfrac{Q4-Q2}{2}$ .....[3]

[2] puede ser $2cos\dfrac{Q1+Q3}{2}cos\dfrac{Q3-Q1}{2}=-2cos\dfrac{Q2+Q4}{2}cos\dfrac{Q4-Q2}{2}$ ......[4]

y $\dfrac{[3]}{[4]}$,obtenemos $tan\dfrac{Q1+Q3}{2}=-tan\dfrac{Q2+Q4}{2}$

desde $0 \leq \dfrac{Q1+Q3}{2} \leq \dfrac{Q2+Q4}{2} \leq 2\pi$,

a continuación, debemos tener

$\dfrac{Q2+Q4}{2}-\dfrac{Q1+Q3}{2}=\pi$......[5] o

$\dfrac{Q2+Q4}{2}+\dfrac{Q1+Q3}{2}=\pi$......[6]

en ambos casos : poner en [3] y [4], luego [3]+[4],tenemos $cos\dfrac{Q3-Q1}{2}=0$ que casue [1] y [2] sea cero. por lo que es imposible. eso es todo.