Consideremos un análogo de Dirichlet $L$ -función para $\mathbb{F}_q[T]$ . Sea $g \in \mathbb{F}_q[T]$ , $g \neq 0$ , dejemos que $\chi: (\mathbb{F}_q[T]/(g))^\times \to \mathbb{C}^\times$ sea un homomorfismo, sea $c \in \mathbb{C}^\times$ y considerar $$L_c(s, \chi) = \sum_f \chi(f) \cdot c^{\text{deg}(f)} \cdot \#(\mathbb{F}_q[T]/(f))^{-s}\tag*{(*)}$$ donde $f$ abarca todos los polinomios mónicos $\mathbb{F}_q[T]$ que son coprimos a $g$ y deg significa el grado. En lo anterior (*), considere el caso $g = T$ y $\chi$ no es un homomorfismo trivial. Mi pregunta es si $L_c(s, \chi)$ necesariamente tiene que ser igual a $1$ ?
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Gary Barrett
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La función que has escrito es $\sum_{f} \chi(f) (c/q^s)^{\deg f}$ . Por lo tanto, es igual a $1$ para cualquier valor no nulo de $c$ si $L(u,\chi) := \sum_{f} \chi(f) u^{\deg f}$ es un polinomio constante, concretamente $1$ (enchufe $u=0$ ). A partir de ahora adoptaremos esa convención.
El $L$ -función de un personaje divide la $\zeta$ -de algún campo de funciones "ciclotómico" (cierta extensión de $\mathbb{F}_q(t)$ ) y se puede aplicar la GRH para campos de funciones, y encontrar que $L(u,\chi)$ es un polinomio de grado $\le \deg g-1$ con raíces de valor absoluto $\sqrt{q}$ (y un posible "cero trivial" $u=1$ ). Esto resuelve $\deg g=1$ y en algunos casos también $\deg g=2$ (Creo que si $\chi$ no es constante en $\mathbb{F}_{q}^{\times}$ entonces $L(u,\chi)=1$ también).
Por supuesto, como señaló KConrad, el hecho de que el $\zeta$ -es un polinomio es completamente elemental, pero la teoría de GRH y de los campos ciclotómicos da la explicación más alta de lo que está pasando - el $\zeta$ -función su $L$ -es el de un campo de funciones isomorfo al campo de funciones racionales (como $F_q(\sqrt{T})$ ), y tal $\zeta$ -no tiene raíces, por lo que sus factores tampoco pueden tener raíces, es decir, son constantes.
