Media de la inversa de la suma del cuadrado de la variante normal

Question

Estoy trabajando en la distribución normal estándar y me he quedado con una derivación.

El problema es que tengo $10$ SNV independiente (variante normal estándar) $X_1, X_2,\dots, X_{10}$

Lo que necesito encontrar es la expectativa de la inversa de la suma del valor cuadrado de estos SNV.

$$E\left(\frac{1}{X_1^2+X_2^2+\dots}\right)$$

Mis opiniones: Sé que la suma de SNV al cuadrado es chi-cuadrado, y su inversa es inv chi-cuadrado.

La media del chi cuadrado inverso es $1/(\lambda-2)$ , donde $\lambda$ son los grados de libertad del chi cuadrado.

Así que mi respuesta a la pregunta actual es $1/(10-2)=1/8$ ¿es correcto? Además, ¿qué teoría exacta se aplica aquí?

Answer 1

$\dfrac18$ es correcto.

Se puede obtener de la densidad de un distribución chi-cuadrado $\frac{2^{-\nu/2}}{\Gamma(\nu/2)}\; x^{\nu/2-1} e^{-x/2}$ a la densidad de un llamado distribución chi-cuadrado inversa ( distribución recíproca de chi-cuadrado podría ser un nombre mejor) de $\frac{2^{-\nu/2}}{\Gamma(\nu/2)}\,x^{-\nu/2-1} e^{-1/(2 x)}$ por norma cambio de variables : esencialmente se sustituye $x$ por $\frac1x$ y multiplicar por el valor absoluto de la derivada de la inversa (en su acepción más amplia), por lo que por $\frac1{x^2}$ .

Conociendo la densidad y que se integra a $1$ facilita la búsqueda de la expectativa, ya que $x\cdot x^{-\nu/2-1}=x^{-(\nu-2)/2-1}$ y por lo tanto la expectativa es $\dfrac{\frac{2^{-\nu/2}}{\Gamma(\nu/2)}}{\frac{2^{-(\nu-2)/2}}{\Gamma((\nu-2)/2)}}=\dfrac{1}{\nu-2}$ cuando $\nu > 2$ y aquí $\nu=10$ .