para un campo vectorial $v$ ¿Cuál es la forma diferencial 1 obtenida a partir de $v$ por el isomorfismo canónico inducido por el producto interior.

Question

Estoy estudiando análisis en colectores y estoy probando algunos problemas y estoy atascado conceptualmente en uno. Es del libro de Do Carmo Formas diferenciales y aplicaciones, capítulo uno problema 11 b.

Detallaré dónde estoy atascado y luego pondré el problema en contexto para los interesados. Consideremos un campo vectorial diferenciable $v: \mathbb R^n \to \mathbb R^n$ , dado como $v = \sum\limits_{i=1}^n a_i(x_1,\ldots,x_n)e_i$ . Entonces necesito encontrar la forma diferencial 1 obtenida de $v$ por el isomorfismo canónico inducido por el producto interior $\left<\ \ ,\ \right>$ . Ahora bien, no me queda claro lo que quiere decir aquí. Intuitivamente lo más lógico para mí es que quiera decir que $\omega$ es la forma 1 que asigna a cada punto $(\bar{x}_1,\ldots,\bar{x}_n)$ la función lineal $$\omega(x_1,\ldots,x_n) = a_1(\bar{x}_1,\ldots,\bar{x}_n)x_1 +\ldots +a_n(\bar{x}_1,\ldots,\bar{x}_n)x_n.$$ Pero no estoy seguro de cómo esto sería inducido por el producto interno. Quizá alguien pueda aclararlo. Como nota al margen, esto no se discutió antes en el libro. Ahora voy a dar un poco de contexto al problema.

Definimos $$\begin{equation} {\rm div}\ (v) = \operatorname{trace} (dv_p). \end{equation}$$ Dejemos que $v = \sum\limits_{i=1}^n a_ie_i$ . Entonces $dv_p = \frac{d a_i}{dx_j}$ para que veamos inmediatamente que $$\begin{equation} {\rm div}\ (v) = \operatorname{trace}(dv_p) = \sum\limits_{i=1}^n \frac{a_i}{dx_i}. \end{equation}$$ Ahora tengo que demostrar que la divergencia se puede obtener mediante $$v \rightarrow \omega \rightarrow *\omega \rightarrow d(*\omega) = \operatorname{div} (v)\nu.$$ donde $*$ es la operación hodge-estrella que se definió en una pregunta anterior, y $\nu$ es el elemento de volumen de $\mathbb R^n$ definido por $\nu =dx_1 \wedge \ldots \wedge dx_n$ .

Answer 1

Si tienes un espacio vectorial con un producto escalar $\langle\,,\rangle$ el producto escalar induce un isomorfismo $$\lambda: V\rightarrow V^*$$ dejando $$\lambda(v)(w) := \langle v, w\rangle$$

Mientras que $V$ y $V^*$ son siempre isomorfos, no hay una elección natural de un isomorfismo en general. Si se tiene un producto escalar, esto cambia debido a la observación anterior.

Esto se aplica, por supuesto, al espacio tangente de una variedad con métrica riemanniana e induce un isomorfismo del haz tangente al haz cotangente. A esto se refiere tu ejercicio.

(En los sistemas de coordenadas esto es lo que se suele llamar bajar y subir índices utilizando el tensor métrico, es decir, enviando $a_i$ a $g^{ji}a_i$ o $\mu^k$ a $g_{lk} \mu^k$ ).