Un poco de integración con una función continua

Question

Si $f$ es continua en $[0,1]$ y si $\int_{0}^{1}f(x)x^ndx=0$ para $n=0,1,2,3...$ entonces $\int_{0}^{1}f^2(x)dx=0$ .

Así es como he procedido. Para $n=1$ , $\int_{0}^{1}f(x)xdx=0$ . (Uso por partes) $\implies$ $x\int f(x)dx]_0^1-\int_{0}^{1}(\int f(x)dx)dx=0$ . Sea $I(x)=\int f(x)dx$ . Entonces $I(1)=\int_{0}^{1}I(x)dx$ . Para $n=2$ tenemos $\int_{0}^{1}f(x)x^2dx= x\int xf(x)dx]_0^1-\int_{0}^{1}(\int xf(x)dx)dx=0$

En general, para cualquier $n$ , $\int_{0}^{1}f(x)x^ndx=x\int x^{n-1}f(x)dx]_0^1-\int_{0}^{1}(\int x^{n-1}f(x)dx)dx=0$ .

Entonces no veo cómo puedo utilizar esta información para obtener el resultado deseado.

Answer 1

Por el teorema de aproximación de Weierstrass, $f(x)$ puede ser aproximado uniformemente por una secuencia de polinomios $p_n(x) \to f(x)$ . La suposición implica que para cada $n$ , $\int_0^1 f(x) p_n(x) dx=0$ . Como la integración conmuta con los límites uniformes, tenemos $\int_0^1 f(x)^2 dx = 0$ .

Por supuesto, esto implica además que $f$ se desvanece idénticamente.