Continuidad en el cálculo multivariable: ¿Cómo se deriva de su homólogo monovariable?

Question

Esto es del Análisis de Munkres sobre los colectores:

Teorema 3.6: (a) Que $X$ sea un espacio métrico. Sea $f:X\to\Bbb R^n$ tienen la forma $f(x)=(f_1(x),\ldots,f_n(x))$ . Entonces $f$ es continua en $x_0$ si cada función $f_i:X\to\Bbb R$ es continua en $x_0$ .

(b) Que $f,g:X\to\Bbb R$ sea continua en $x_0$ entonces $f+g, f-g, f\cdot g$ continua en $x_0$ y también lo es $f/g$ para $g(x_0)\ne0$ .

(c) La función de proyección $\pi_i:\Bbb R^n\to\Bbb R$ dado por $\pi(\vec x)=x_i$ es continua.

Entonces el autor dice que: "Estos teoremas implican que las funciones formadas a partir de las conocidas funciones continuas de valor real del cálculo, utilizando operaciones algebraicas y compuestas, son continuas en $\mathbb R^n$ . Por ejemplo, como se sabe que las funciones $e^x$ y $\sin x$ son continuos en $\mathbb R$ se deduce que una función como $$f(s,t,u,v)=\frac{\sin (s+t)}{e^{uv}}$$ es continua en $\Bbb R^4$ ."

No puedo entender cómo la continuidad de $\frac{\sin (s+t)}{e^{uv}}$ se desprende de los teoremas dados: en particular, ¿cómo se $s+t$ y $uv$ continua se desprende del teorema? El teorema dice $f(x)+g(x)$ continua, no algo como $f(x)+g(y)$ continua.

Answer 1

$f_1(s,t,u,v)=s$ , $f_2(s,t,u,v)=t$ , $f_3(s,t,u,v)=u$ y $f_4(s,t,u,v)=v$ son funciones continuas de $(s,t,u,v)$ y también la función seno. Aplica el teorema a estas funciones.