Demuestre que no hay ninguna función $f$ que es analítica en el disco unitario perforado y $f'$ tiene un polo simple en $0$ .

Question

Demuestre que no hay ninguna función $f$ que es analítica en el disco unitario perforado y $f'$ tiene un polo simple en $0$ .

Que tal función exista. Y tengo $\int( f'(z)-a_{-1}\frac{1}{z})dz=0 $ sobre algún círculo cerrado en el disco unitario abierto. Entonces, ¿cómo seguir adelante?

¿Es correcto decir que desde $f(z)$ es primitivo de $f'(z)$ . entonces $\int f'(z) dz =0$ a lo largo de ese círculo. Entonces sigue $\int (a_{-1}\frac{1}{z})dz=0 $ lo cual no es cierto.

Answer 1

Tal y como atestigua Daniel Fisher, el método del PO es sólido. Pero, pensé que podría ser instructivo presentar otra forma de avanzar. Para ello, procedemos.

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Si $f$ es analítica en el disco unitario perforado, entonces se puede representar por su serie de Laurent

$$f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_nz^n \tag 1$$

Diferenciando $(1)$ encontramos que

$$\begin{align} f'(z)&=\sum_{n=-\infty}^\infty n a_nz^{n-1}\\\\ &=\sum_{n=-\infty}^\infty (n+1)a_{n+1}z^{n}\\\\ &=\sum_{n=1}a'_nz^n \end{align}$$

donde $a'_n=(n+1)a_{n+1}$ .

Observando que $a'_{-1}=0$ encontramos que $f'(z)$ no tiene un polo simple en $z=0$ y por lo tanto el residuo de $f'(z)$ en $z=0$ es $0$ .

Concluimos que no existe ninguna función que sea analítica en el disco de punción unitario para la que $f'$ tiene un polo simple en $z=0$ . ¡Y ya está!