Estoy interesado en cómo los profesionales de hoy en día matemáticos ver el teorema de Pitágoras, en términos de cómo el teorema de encaje dentro del marco axiomático de las matemáticas. Me vienen a menudo a través de los libros de texto que definen la longitud por el teorema de Pitágoras, por lo que el teorema es, en esencia, una definición o un axioma. En la más moderna de las matemáticas como el álgebra lineal, el teorema de Pitágoras, en general, se utiliza como la definición de longitud? Es más convencional de hoy en día para tratar el teorema de Pitágoras como una definición (o axioma) en lugar de un teorema? ¿Hay alguna moderno pruebas del teorema de Pitágoras, que no se basan en la geometría Euclidiana (como una prueba que utiliza el álgebra lineal/el producto escalar, etc.)?
Respuestas
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De longitud, en la geometría Euclidiana, es una relación, no un número. Decimos que dos segmentos de la misma longitud si son congruentes el uno al otro, y la congruencia es uno de los indefinidos nociones de la geometría Euclidiana. El teorema de Pitágoras viene tan pronto como usted decide mapa de las longitudes de los números reales positivos, y lo hace porque de cómo longitud y los ángulos están relacionados por la congruencia y similitud de los axiomas (por ejemplo, cómo el teorema de Pitágoras es probado).
Las longitudes, en espacios vectoriales, puede ser cualquier cosa que satisface los axiomas de una norma. Pero para tener un teorema de Pitágoras, se necesita una noción de perpendicularidad de vectores, esto es, un producto interior, que sólo existe si la norma satisface la ley del paralelogramo. Por ejemplo, el rol de la norma, el cual es dado por $|(a,b)|=|a|+|b|$ no proviene de un producto interior, y no hay ningún teorema de Pitágoras para que la noción de longitud.
La pregunta natural es: ¿por qué el teorema de Pitágoras en la geometría Euclidiana se corresponden con el teorema de Pitágoras en un número finito de dimensiones de espacio vectorial sobre los reales con un producto interior? (hay un teorema que dice que en un finito-dimensional espacio vectorial no es sólo un producto interior hasta el isomorfismo, entonces realmente podemos hablar sobre EL teorema de Pitágoras).
La respuesta es que el finito dimensional espacio vectorial sobre los reales con un producto interior codifica la congruencia y similitud de los axiomas de la geometría Euclidiana. La exposición básica de (más de) este puede ser encontrado en la primera mitad del Capítulo 2 de Emil Artin el maravilloso libro de Álgebra Geométrica.
Tomar una geometría de puntos y líneas para que las siguientes afirmaciones son verdaderas:
- Cualquiera de los dos puntos determinan una recta.
- Postulado paralelo: para cualquier punto de $p$ no en la línea $\ell_1$ existe una única línea de $\ell_2$ que pasa a través de $p$, pero no se cruzan $\ell_1$.
- No trivialidad: no existe $3$ sin puntos colineales.
- Desargues Teorema (el artículo de wiki es horrible)
Las tres primeras declaraciones permiten definir las traducciones (las transformaciones del plano que enviar líneas rectas paralelas y no tienen puntos fijos), mientras que el cuarto le permite una construcción de un campo sobre el cual el espacio de las traducciones es una $2$-dimensional espacio vectorial, y de tal manera que si se asocia traducciones $OP$$OQ$$(0,1)$$(1,0)$, entonces cualquier punto de $R$ tiene una traducción $OR$ que puede ser escrito como $(a,b)$ $a$ $b$ en el campo.
De esta manera, cualquier afín Desarguesian avión (cosa que satisface las afirmaciones 1, 2, 3 y 4) puede ser identificado con un $2$-dimensional espacio vectorial sobre algunas de campo (y a la inversa cualquier $2$-dimensional espacio vectorial sobre algunas de campo corresponde a un afín Desarguesian plano).
Bien. Ahora, la geometría Euclidiana satisface Desargues Teorema, por lo que el campo que corresponde? Bueno, resulta que el hecho de que la geometría es ordenado (es decir, tenemos una noción de un orden de los puntos en una línea) significa que el campo tiene que ser ordenado y por lo tanto es un subcampo de los números reales (aquí es donde necesitamos algo así como la continuidad o Hilbert integridad del axioma de que a grandes rasgos el estado de cosas que intersecta sí se cruzan, y que implican que el campo base es el conjunto de los números reales).
A continuación, todo el producto interior shebang resulta ser sólo una codificación de los diferentes axiomas de congruencia. La norma está dada por la elección de algunos vectores para hacer un vector unitario (segmento) y, a continuación, considerando que el vector en la misma dirección que otros vectores (segmentos) son congruentes. El producto interior es una cuestión de la codificación de la noción de ángulo entre los vectores interior del producto, es decir, como una función lineal de dos vectores, que básicamente lleva a la noción de similitud, congruencias y círculos de unidad.
Resulta que usted puede hacer todo esto en la dirección inversa, y así el plano Euclidiano realmente es un 2-d espacio vectorial sobre los reales con un producto interior.
Apéndice: un comentario sobre la simetría de los grupos que es demasiado tiempo para dejar un comentario.
Cada norma en un espacio vectorial tiene su propia unidad de blob, es decir, el conjunto de vectores de norma menor que uno. Geométricamente, blobs, que corresponden a una norma satisfacer las siguientes propiedades: son convexas, que se absorben (todos los vectores es múltiplo de un vector en el blob), y no contienen ninguna de las líneas a través del origen. Es un teorema que cualquier blob corresponde a una norma.
Como sabemos, las transformaciones de un espacio vectorial son transformaciones lineales, lo que significa que el grupo de simetría de un objeto en el espacio vectorial va a constar de las transformaciones lineales que bijectively enviar un objeto a sí mismo. En otras palabras, el grupo de simetrías de un objeto es el conjunto de invertible transformaciones lineales que arreglar ese objeto.
Ahora, la masa de la norma Euclídea es la unidad de disco y la unidad de círculo es el límite de la disco. El círculo unitario es el conjunto de vectores con la norma Euclídea $1$, y en general, el límite de la unidad blob de una norma será el conjunto de vectores con la norma $1$. El grupo de simetrías de los límites de la nota, a continuación, será el conjunto de invertible transformaciones lineales que enviar con los vectores de norma $1$ a con los vectores de norma $1$.
Una ligera advertencia es que usted no desee considerar cualquier invertible, transformaciones lineales, porque cuando se agrega una norma en un espacio vectorial, que son, en efecto, la definición de una topología, es decir, una manera de definir la continuidad. Como resultado, usted quiere trabajar con continuas transformaciones lineales. PERO! En un número finito de dimensiones de espacio vectorial, no importa cuál sea la norma, tenemos que cada transformación lineal es continua.
Lo que esto significa es que para cualquier norma, decir la $2$-d espacio vectorial sobre los reales, los grupos de simetría de los límites de la unidad de blob son todos invertible transformaciones lineales de un mismo espacio. Por lo tanto, se pueden comparar directamente a estos grupos para que cada uno de los otros ya que ellos viven en el mismo espacio (de invertible transformaciones lineales de $\mathbb R^2$).
Ejemplo: el límite de la unidad de blob para la norma Euclídea es el círculo unitario, es decir, todos los puntos tales que $x^2 + y^2=1$. El límite de la unidad blob de los Taxis, la norma es la unidad de diamante, es decir, todos los puntos tales que $|x|+|y|=1$.
Ahora bien, si usted piensa acerca de ello, cualquier transformación lineal que envía la unidad de diamante a sí mismo también enviará a la unidad de círculo a sí mismo. Por lo tanto, el grupo de simetría de la norma Euclídea contiene el grupo de simetría para el Taxi de la norma, y en el hecho de que contiene correctamente ya que, por ejemplo, la rotación por $45$ grados corrige el círculo, pero no soluciona el diamante.
El teorema de Pitágoras sigue directamente de las propiedades básicas del producto escalar: si $x \cdot v = 0$,$(x + v) \cdot (x + v) = x \cdot x + v \cdot v$. No hay mucho que decir acerca de esta prueba de un moderno punto de vista, excepto que no depende de lo finito-dimensionalidad del espacio subyacente, por ejemplo, en espacios de Hilbert incluso se generaliza a la identidad de Parseval. (Por supuesto, uno tiene que demostrar que los productos de puntos de inducir a las normas, pero este es el estándar de Cauchy-Schwarz argumento.)
Me gustaría interpretar a tu pregunta del título de manera más amplia. Mi impresión es que los matemáticos no pensar realmente sobre el teorema de Pitágoras directamente (a menos que, tal vez, que están analistas funcionales!). Más bien, siguiendo a Klein Erlangen filosofía, que piensan sobre el grupo de simetrías de que el uso del teorema de Pitágoras (en realidad, productos de puntos) implica. En el avión, esta es la Euclídea grupo $\text{E}(2)$, en la que se encuentra el grupo ortogonal $\text{O}(2)$ de transformaciones lineales preservar el producto escalar (rotaciones y reflexiones). La geometría determinada por la distancia Euclídea grupo es uno donde tiene sentido hablar acerca de las longitudes y los ángulos y todas las herramientas conocidas de la geometría Euclidiana. Hay otra Mentira de los grupos que determinar otros tipos de geometrías (el "no-Euclidiana").
Tal vez estos pensamientos serán arrojar algo de luz sobre la discusión aquí. Si uno escribe una colección de axiomas para la geometría Euclidiana, por ejemplo, los axiomas de Hilbert, el Teorema de Pitágoras y la discusión de una función de distancia no aparezcan explícitamente.
http://www.beva.org/math323/asgn7/dec12b.htm#hilb
Un modelo de la geometría Euclidiana consiste en tomar los puntos (x,y), de pares ordenados de números reales y líneas de ecuaciones lineales ax + by + c = 0, (a, b, c números reales), utilizando la distancia Euclidiana de la función como el camino para encontrar la distancia entre pares de puntos.
Sin embargo, si uno toma de puntos (x, y) (pares ordenados de números reales) y líneas de ecuaciones lineales ax + by + c = 0, pero utiliza |a-b| + |c - d| a medida que la distancia entre los dos puntos (a,b) y (c,d) y medidas de los ángulos como se hace en el plano Euclidiano se obtiene una geometría, a menudo llamado el Taxi Plano, que obedece a todos los axiomas del Plano Euclidiano, excepto por el axioma de tratar con la congruencia de triángulos.
Los detalles se pueden encontrar en Eugene Krause del libro de Taxis de la Geometría.
El Pyhtagorean Teorema no se cumple aquí.
Para sutilezas interesantes, y mucho sobre el rol de avión, ver Dawson artículo disponible en este sitio:
Usted no necesita interior producto de espacios para demostrar el teorema de Pitágoras. Si abc es un triángulo rectángulo con hipotenusa c, organizar cuatro copias de un cuadrado, cuyos lados son de longitud $a + b$. A continuación, calcular el área del cuadrado de dos maneras diferentes y les corresponden.
$(a+b)^2$ = ${4*ab/2} + c^2$
Ampliar y simplificar para obtener el teorema de Pitágoras.
