Demuestra que la representación de los números complejos es un paralelogramo

Question

Pregunta :

Dejemos que $z_1,z_2,z_3,z_4$ sean los vectores de posición de los vértices del cuadrilátero $ABCD$ . Demostrar que $ABCD$ es un paralelogramo si sólo si $z_1-z_2-z_3+z_4=0$

Lo que he hecho hasta ahora :

Prueba de $p\Rightarrow q$

Dejemos que $z_1=x_1+iy_1,\quad z_2=x_2+iy_2, \quad z_3=x_3+iy_3, \quad z_4=x_4+iy_4$

$ABCD$ es un paralelogramo $\Leftrightarrow\,\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\, \land\, \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC} $

$\begin{aligned} \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD} &\Rightarrow |z_1-z_2|=|z_3-z_4|\\ &\Leftrightarrow x_1^2-2x_1x_2+x_2^2+y_1^2-2y_1y_2+y_2^2=x_3^2-2x_3x_4+x_4^2+y_3^2-2y_3y_4+y_4^2\\ \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC} &\Rightarrow |z_1-z_4|=|z_2-z_3|\\ &\Leftrightarrow x_1^2-2x_1x_4+x_4^2+y_1^2-2y_1y_4+y_4^2=x_2^2-2x_2x_3+x_3^2+y_2^2-2y_2y_3+y_3^2 \end{aligned}$

Estoy atascado y no veo ninguna conclusión aquí.

Prueba $p\Leftarrow q$

No tengo una idea para esto.

Por favor, ayúdenme, gracias.

Answer 1

$ABCD$ es un paralelogramo $\Leftrightarrow\,\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\, \land\, \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC} $

Es decir casi correcto. Si $A, B, C, D$ son los vértices en la orientación de las agujas del reloj entonces debe ser $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\, \land\, \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC} \ .$

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD} \implies |z_1-z_2|=|z_3-z_4|$

Eso es correcto, pero se pierde información al comparar sólo las longitudes de los vectores. La tarea es más fácil si se comparan los vectores: $$ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} \iff z_2-z_1=z_3-z_4 \, , \\ \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC} \iff z_4-z_1=z_3-z_2 \, . $$ Ahora ambas condiciones del lado derecho son equivalentes y equivalen a $$ z_1-z_2+z_3-z_4=0 \, , $$ por lo que esta es la condición correcta para $ABCD$ siendo un paralelogramo.

Answer 2

Con un enfoque diferente:

Dejemos que $z_1,z_2,z_3,z_4\in \mathbb{C}\setminus\{0\}$ , $z_k=x_k+iy_k$ .

$(\Rightarrow)$
$z_1-z_2-z_3+z_4=0$ , lo que implica
$ Re(z_1-z_2-z_3+z_4)=Im(z_1-z_2-z_3+z_4)=0$ .

Así que,
$ \begin{cases} x_1+x_4-(x_2+x_3)=0\\ y_1+y_4-(y_2+y_3)=0 \end{cases} $

Como la suma de las componentes horizontal (real) y vertical (imaginaria) es igual a cero, ¿qué puedes deducir?

Prueba de $(\Leftarrow)$ es bastante similar.