Desplazamiento azul "tangencial": tren con luz en el lado que pasa paralelo al observador

Question

Tengo el siguiente problema:

"Una luz azul, que emite a una longitud de onda $\lambda = 400 (nm)$ en su marco de reposo, se monta al lado de un tren que viaja a una velocidad constante de $v = 0.6c$ en el marco de una estación. Calcula la longitud de onda de la luz medida por un observador situado en el andén de la estación en el momento exacto en que pasa el tren. Puedes despreciar la distancia entre el observador y el tren".

Ahora, estoy pensando lo siguiente:

Clásicamente, cualquier efecto del tipo de desplazamiento Doppler surge porque las diferentes señales necesitan viajar una distancia diferente debido al movimiento relativo entre el emisor y el observador en la dirección de la "señal" (onda). En este caso, no debería surgir ningún desplazamiento Doppler en la situación en la que el emisor viaja en ángulo recto con respecto a la dirección de la señal. Es decir, en la física clásica. Sin embargo, en el caso del desplazamiento Doppler relativista, hay dos factores que causan el desplazamiento: El clásico recién descrito y la dilatación del tiempo. Por lo tanto, en nuestro problema con el tren, sólo actuará el segundo.

Por lo tanto: $ \Delta t' = \gamma \Delta t $ , donde $ \Delta t = 1/f $ etc. Esto debería producirse: $$ \lambda_3 = \frac{\lambda_3'}{\gamma} = 320 (nm).$$ ¿Esto está bien? Nunca he resuelto un problema similar antes y, por lo tanto, no estoy seguro. ¿Cómo puedo saber con seguridad si es $ \Delta t' = \gamma \Delta t $ o $ \Delta t = \gamma \Delta t' $ ?

Answer 1

El efecto Doppler puede observarse a una distancia arbitraria

Consideremos el caso, cuando el haz de luz se mueve en la normal a las trayectorias de la fuente/emisor. Este será el efecto Doppler transversal, que refleja la velocidad del reloj en movimiento relativo.

La cantidad de corrimiento al rojo/desplazamiento al azul dependerá de los ángulos de emisión/recepción.

1) Luz emitida en los puntos de mayor aproximación. Si el fotón se acerca al observador en ángulo recto, la fuente debe emitir el fotón en ángulo oblicuo. El fotón se desplazará al rojo. El observador mide la dilatación del reloj en movimiento relativo.

2) Luz recibida en los puntos de mayor aproximación. Si el fotón fue emitido en ángulo recto, se acercará al observador en ángulo oblicuo. El observador verá un desplazamiento azul de la frecuencia. El observador puede explicar que la posición aparente de la fuente es diferente de la real debido a la aberración de la luz. También explicará el desplazamiento azul como una dilatación de su propio reloj, ya que se mueve en el marco del emisor. Como su propio reloj se dilata, todo lo que le rodea parece ir más rápido, por lo que el reloj opuesto parece ir más rápido.

3) La luz no se emite ni se recibe en los puntos de mayor aproximación, o se ha emitido y recibido en ángulos iguales. En este caso no habrá desplazamiento Doppler, es decir, no habrá dilatación alguna.

Wikipedia: El efecto Doppler transversal puede analizarse desde un marco de referencia en el que la fuente y el receptor tienen velocidades iguales y opuestas. En dicho marco, la relación de los factores de Lorentz es siempre 1, y todos los desplazamientos Doppler parecen ser de origen clásico. En general, el desplazamiento de frecuencia observado es una invariante, pero las contribuciones relativas de la dilatación del tiempo y el efecto Doppler dependen del marco.

Efecto Doppler transversal en Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Relativistic_Doppler_effect

Por lo tanto, al resolver tareas de este tipo es necesario considerar los ángulos de emisión/recepción. Los ángulos de emisión/recepción están relacionados con la fórmula de la aberración relativista.

$$ \cos {\theta_0} = \frac {\cos {\theta_s} - \frac v c} {1- \frac v c \cos \theta_s} $$

Imagina dos observadores, Tom y Ben, que se mueven relativamente entre sí. Tom tiene un puntero láser y Ben un telescopio.

Si Tom mantiene el puntero láser en ángulo recto, Ben debe girar su telescopio en ángulo obligado $\alpha = \arcsin v/c$ . De lo contrario, los rayos de luz no podrían pasar por el telescopio debido a la aberración de la luz. Ben verá el desplazamiento azul (el reloj de Tom va más rápido)

Si Ben mantiene su telescopio en ángulo recto, Tom debe girar su puntero láser hacia atrás en el mismo ángulo $\alpha$ . En este caso, Ben verá un desplazamiento de la frecuencia, es decir, el reloj de Tom se dilata.

Ben y Tom deben respetarse siempre y no jugar con los marcos de referencia como si fueran de su propiedad. Deben acordar quién se mueve y quién está en reposo y tener siempre presente en qué ángulo girar el telescopio y el puntero láser, si quieren verse mutuamente.

Busque el efecto Doppler transversal: http://mathpages.com/home/kmath587/kmath587.htm

https://www.youtube.com/watch?v=hnphFr2Iai4 https://www.youtube.com/watch?v=FQKp3FU8vR8

EDIT: La tarea dice "Calcular la longitud de onda de la luz medida por un observador situado en el andén de la estación en el momento exacto en que pasa el tren".

Al parecer, dicen que la fuente emitió luz dispersa y que la luz se recibió en los puntos de mayor aproximación, es decir, que el observador en el andén ve que la radiación se desplaza hacia el azul, es decir, que el reloj del tren funciona más rápido. Por lo tanto, su respuesta es correcta.

Pero, el observador tuvo que mirar (o girar el telescopio/espectrómetro) en ángulo oblicuo de acuerdo con el ángulo de aberración relativista.