Encuentre un ejemplo de tres grupos $E < F < G$ donde $E$ es normal en $F$ y $F$ es normal en $G$ pero $E$ no es normal en $G$

Question

Encuentre un ejemplo de tres grupos $E < F < G$ donde $E$ es normal en $F$ y $F$ es normal en $G$ pero $E$ no es normal en $G$ .

Estoy buscando demostrar este caso dando un ejemplo, y no estoy seguro de cómo proceder. ¡Necesito ayuda!

Answer 1

Echa un vistazo a $G = S^4$ . Sea E el subgrupo generado por un par de transposiciones disjuntas, es decir $E = <(12)(34)>$ . Sea F el subgrupo generado por todos los pares de transposiciones disjuntas, es decir $F = <(12)(34),(13)(24),(14)(23)>$ . Intenta demostrar que E es normal en F, y que F es normal en G, pero E no es normal en G.

Answer 2

Pista: Mira $D_4$ el grupo dinédrico de orden 8, y encontrar un elemento no central de orden2. Ahora utiliza el hecho de que cualquier subgrupo de índice 2 es normal.