Dejemos que $V$ y $W$ sean espacios vectoriales de campo $F$ .
$T : V \to W$ es una transformación lineal sobreyectiva. Sea $D$ sea un subconjunto linealmente independiente de $W$ para cada $\mathbf{d}$ en $D$ , fije un vector $\mathbf{c}_d$ en $V$ tal que $T(\mathbf{c}_d) = \mathbf{d}$ y denota $$C = \{\mathbf{c}_d~|~ \mathbf{d} \in D\}$$
a) Mostrar $C$ es un subconjunto linealmente independiente de $V$ .
Debido a la falta de tiempo, creo que escribí una respuesta incorrecta, creo que obtendré algunas notas parciales porque creo que la idea está ahí. Espero que alguien pueda ayudarme a corregir la prueba.
En mi prueba, defino un "mapa de restricción" como tal $$T|_{V_{1}} : V_1 = \text{span}(C) \to T(\text{span}(C)) = \text{span}(D)$$
Con las prisas, no he tenido tiempo de pensar y he afirmado que este mapa es sobreyectivo por construcción (por supuesto $T$ también es sobreyectiva) y afirmo que este mapa es inyectivo. Y por lo tanto $D = T(C)$ siendo linealmente independientes implicará $D$ siendo linealmente independientes por isomorfismo entre mapas. Después de llegar a casa, creo que la afirmación inyectiva es demasiado rápida. ¿Alguien puede ayudarme a terminarla?
