Comprobación del teorema de Cantor.

Question

Necesito demostrar que no hay una suryección de $S$ a $P(S)$ . He visto una prueba en algunos posts pero me gustaría saber en qué falla la mía.

Mi intento: Desde $f$ es suryente, $\{s\}\in f(S)$ para todos los solteros $\{s\}$ Es decir, $f(s')=\{s\}$ para algunos $s'$ (*). Ahora dejemos que $A=\{a_1,a_2\}$ sea un subconjunto de $S$ . Por hipótesis $A=f(a)$ para algunos $a$ . Debería ocurrir que $f(a)=\{s\}$ . Porque $a$ no puede tener dos imágenes diferentes, $f$ no puede ser sobreyectiva.

Nota: Sé que $f$ debe ser una función arbitraria que no necesariamente mapea elementos en singletons así que " $f(a)=\{s\}$ " no está justificado, sin embargo se me ocurrió porque la subjetividad agota todas las posibles preimágenes en el paso (*), si $f(a)=A$ , entonces hay un conjunto de un elemento que no tiene preimagen.

Answer 1

La subjetividad sí no agotar todas las preimágenes posibles en el paso (*). Supongamos que $S=\Bbb N$ . Definir parte de $f:\Bbb N\to\wp(\Bbb N)$ al establecer $f(2n)=\{n\}$ para cada $n\in\Bbb N$ . Ya nos hemos ocupado de todos los solteros y todavía tenemos infinitos impar $n\in\Bbb N$ para utilizarlo en otros subconjuntos de $\Bbb N$ .

De hecho, hay es una biyección de $\Bbb N$ al conjunto de todos los finito subconjuntos de $\Bbb N$ aunque tengamos que usar infinitas $n\in\Bbb N$ para ocuparse de los monotones, infinitamente más para ocuparse de los dobletes, y así sucesivamente.