Forma cerrada para $I=\int_{0}^{\infty}\frac{x^n}{x^2+u^2}\tanh(x) \, dx$

Question

Resolver

$$I=\int_{0}^{\infty}\frac{x^n}{x^2+u^2}\tanh(x) dx:0<n<2$$

Lo intenté durante $n=1$ :

$$I(v)=\int_{0}^{\infty}\frac{x}{x^2+u^2}\tanh(vx) dx$$

$$I'(v)=\int_{0}^{\infty}(\frac{1}{\cosh^2(vx)}-\frac{u^2}{(x^2+u^2)\cosh^2(vx)}) dx$$

$$I'(v)=-\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^ku^{-2k}\int_{0}^{\infty}(\frac{x^{2k}}{\cosh^2(vx)})dx$$

$$I'(v)=-\frac{1}{v}\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k(uv)^{-2k}\int_{0}^{\infty}(\frac{x^{2k}}{\cosh^2(x)})dx$$

y resolvi la ultima integral en termino de la funcion zeta pero no encontre el resultado de la suma .

Me interesa encontrar el resultado de la suma.

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Si puede encontrar por $n=1$ y para n general ?

utilizando dos métodos complejo y real :)

Answer 1

Como ha dicho Lucian en los comentarios anteriores, la integral converge sólo si $-2 < n <1$ .

Haré el caso $n=-1$ mediante la integración de contornos.

Para $u>0$ y no igual a $\pi \left(k + \frac{1}{2} \right)$ (donde $k$ es un entero no negativo), consideremos la función compleja

$$ f(z) = \frac{\tanh z}{u^{2}+z^{2}} \frac{1}{z}.$$

Integración de la función $f(z)$ alrededor de un contorno rectangular en el semiplano superior de altura $K \pi$ y luego dejar que $K \to \infty$ discretamente, encontramos

$$ \begin{align} \int_{0}^{\infty} \frac{\tanh x}{(u^{2}+x^{2})} \, \frac{dx}{x} &= \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\tanh x}{(u^{2}+x^{2})} \, \frac{dx}{x} \\ &= \pi i \left(\text{Res}[f(z), iu] + \sum_{n=0}^{\infty} \text{Res}\left[f(z), i \pi \left(k+\frac{1}{2} \right)\right] \right) \end{align}$$

donde

$$ \text{Res}[f(z), iu] = \lim_{z \to iu} \frac{\tanh z}{z+iu} \frac{1}{z} = \frac{\tanh (iu)}{2iu} \frac{1}{iu} = \frac{\tan u}{2iu^{2}}$$

y

$$ \begin{align} \text{Res}\left[f(z), i \pi \left(k+\frac{1}{2} \right)\right] &= \lim_{z \to i \pi (k+1/2)} \frac{\sinh z}{\frac{d}{dz} (u^{2}+z^{2})z \cosh z } \\ &= \frac{1}{i \pi} \frac{1}{\left( (u^{2}-\pi^{2}(k+ \frac{1}{2})^{2} \right) (k + \frac{1}{2})} \\ &= - \frac{1}{i \pi^{3}} \frac{1}{\left(k- \frac{u}{\pi} + \frac{1}{2} \right)\left(k + \frac{u}{\pi} + \frac{1}{2} \right) \left(k + \frac{1}{2} \right)} . \end{align}$$

En general, $$ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(k+a)(k+b)(k+c)}= \frac{(b-c) \ \psi(a)+ (c-a) \ \psi(b)+(a-b) \ \psi(c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}$$

donde $a \ne b$ , $b \ne c$ , $c \ne a$ y $a, b, c \ne 0, -1, -2, \ldots$ .

Aquí $\psi(z)$ es el función digamma .

Esta identidad puede deducirse empezando por el lado derecho de la ecuación y sustituyendo cada función digamma por su representación de la serie .

Utilizando esta identidad, obtenemos $$ \sum_{k=0}^{\infty} \text{Res} \left[f(z), i \pi \left(k+\frac{1}{2} \right)\right] = \frac{1}{i \pi} \frac{\psi \left(\frac{1}{2} - \frac{u}{\pi} \right) + \psi \left(\frac{1}{2} + \frac{u}{\pi} \right) - 2 \psi \left( \frac{1}{2}\right)}{2u^{2}}.$$

Por lo tanto,

$$ \begin{align} \int_{0}^{\infty} \frac{\tanh x}{u^{2}+x^{2}} \frac{dx}{x} &= \frac{1}{2u^{2}} \left[\pi \tan u + \psi \left(\frac{1}{2} - \frac{u}{\pi} \right) + \psi \left( \frac{1}{2} + \frac{u}{\pi}\right) - 2 \,\psi \left( \frac{1}{2}\right) \right] \\ &= \frac{1}{2u^{2}} \left[\pi \tan u + \psi \left(\frac{1}{2} - \frac{u}{\pi} \right) + \psi \left( \frac{1}{2} + \frac{u}{\pi}\right) +2 \gamma + 4 \log 2 \right] .\end{align}$$

Comprobando con Wolfram Alpha, este resultado parece ser correcto para varios valores de $u$ .

EDITAR :

En $u = \pi$ la fórmula se reduce a

$$\int_{0}^{\infty} \frac{\tanh x}{\pi^{2}+x^{2}} \frac{dx}{x} = \frac{2}{\pi^{2}}.$$