¿Cuándo las repeticiones de Galois de las formas modulares tienen imagen abierta?

Question

Supongamos que f es una nueva forma (con coeficientes que generan algún campo numérico E), y $\rho_{f,\lambda}: {\rm Gal}(\overline{\mathbb{Q}} / \mathbb{Q}) \to {\rm GL}_2(E_\lambda)$ la rep de Galois asociada (para algún primo $\lambda$ de E). ¿Cuándo $\rho$ tiene la imagen abierta en ${\rm GL}_2(E_\lambda)$ ?

Esto claramente no es el caso si f tiene peso 1, o si f es de tipo CM; y deduzco que es un teorema de Serre que si f está unido a una curva elíptica, entonces no tener CM es suficiente. ¿Qué se sabe sobre esta cuestión en general?

Answer 1

Está abierto en los demás casos; véase, por ejemplo, la introducción a este trabajo de Ribet:

http://math.berkeley.edu/~ribet/Articles/rankin.pdf

Answer 2

La respuesta de TSG no es correcta en todos los casos. Para una respuesta completa y detallada vea esto más adelante pregunta y la respuesta de David Loeffler (el propio OP de la pregunta actual).