Existencia de un agotamiento con dominios regulares intrínsecamente limitados

Question

Si $(M,g)$ es una variedad riemanniana, es posible encontrar un agotamiento $(U_i)_{i \ge 0}$ de $M$ con dominios regulares, es decir, con subconjuntos abiertos relativamente compactos que tienen límites suaves. Por desgracia, estos dominios pueden ser un limitadas en sus distancias intrínsecas, es decir, en la distancia producida por $g \big| _{U_i}$ (aunque estén acotados en la distancia riemanniana de $M$ ). (Piensa en $\mathbb R^2$ y tomar $U = (0,1)^2 \setminus C$ donde $C$ es algo así como un intrincado borrado doble espacio de peine pero con los segmentos del peine de longitud constante $3/4$ y el grosor $2^{-n}$ con su grosor disminuyendo hacia la izquierda: como espacio longitudinal $U$ no tiene límites hacia la izquierda).

¿Es posible elegir este agotamiento teniendo la propiedad suplementaria de que cada $U_i$ está limitada en su distancia intrínseca?

Answer 1

Existe $1$ -red $p_i\in M$ es decir, para cualquier $x\in M$ Hay un poco de $p_i$ s.t. $d_M(p_i,x)\leq 1$ .

Definir $V_j =\{ x\in M| d_M(x,p_j)\leq d_M(x,p_k)$ para todos $k\neq j\}$ que está contenida en una bola cerrada $B(p_j,1)$ .

Definir $U_1=V_1$ y $$U_i = \bigcup_{V_j\cap U_{i-1}\neq \emptyset}\ V_j$$

Desde $V_j$ es una cobertura localmente finita, por lo que podemos hacer $U_i'$ con límite suave s.t. $d_H(U_i',U_i)\leq 1$ donde $d_H$ es una métrica de Hausdorff.

[Añadir] Para $x_i\in U_i$ , hay $p_j$ s.t. $d_M(p_j,x_i)\leq 1$ .

En más, $V_j$ tiene un punto de intersección con $x_{i-1}$ con $U_{i-1}$ .

Por lo tanto, al reindexar, $$ [x_ip_i]\cup [p_i x_{i-1}]\cup [x_{i-1}p_{i-1}]\cdots\cup[x_1p_1] $$ tiene una longitud $ 2i-1 $ .

Es decir, dos puntos cualesquiera en $U_i$ tiene como máximo la distancia $4i-2$ .