Sobre la definición de orbifolds

Question

Soy nuevo en los orbifolds. Al leer la definición (clásica, no en términos de pilas o groupoides), me pregunto por qué sólo se permite la acción de grupos finitos en la definición de cartas locales. Espero que un colector cociente sea un orbifold en el que la acción sea propia. Sin embargo, parece que no es el caso a menos que la acción sea, de hecho, propiamente discontinua. Parece que el quid de la cuestión es que los estabilizadores no pueden ser demasiado grandes y tienen que ser finitos.

Mis preguntas son:

1. ¿es la acción del grupo finito absolutamente necesaria, o es simplemente una conveniencia técnica?
2. ¿Qué ocurre si se permiten los grupos compactos en las cartas locales? ¿Existe ya tal generalización?

Gracias.

Answer 1

Uno de los propósitos de la definición de un orbifold era poder describir los objetos cotizados de acciones de grupo generales propiamente discontinuas, como las acciones de grupos triangulares en la 2esfera, en el plano euclidiano o en el plano hiperbólico.

En el caso especial en el que la acción del grupo también es libre, ya existía una teoría muy agradable, a saber, la teoría de los mapas regulares de cobertura de las variedades. En esa situación, todo estabilizador puntual es trivial.

En el caso general en el que la acción del grupo puede no ser libre, la discontinuidad adecuada implica que los estabilizadores puntuales son finitos. Esos estabilizadores puntuales de la acción de grupo se convierten en los grupos finitos que etiquetan puntos en el lugar singular del orbifold cotizante. Para una acción de grupo correctamente discontinua sobre una superficie, por ejemplo, es fácil demostrar que los grupos que pueden surgir como estabilizadores puntuales son grupos cíclicos finitos y grupos diedros finitos. Por esta razón, los grupos que marcan el lugar singular de un orbifold de dimensión 2 son todos grupos cíclicos finitos o grupos diedros finitos.