Teorema de proyección del espacio de Hilbert: ¿cómo terminar mi demostración?

Question

El teorema de projeción del espacio de Hilbert es el siguiente teorema:

Dejemos que $H$ sea un espacio de Hilbert y $C$ cualquier subconjunto convexo cerrado. Entonces para $h \in H$ existe un único $c_0 \in C$ tal que $\|h-c_0\| = \inf_{c\in C}\|h-c\|$ .

Por favor, ¿podría alguien mostrarme cómo terminar mi idea para una prueba?

Prueba:

Tenga en cuenta que $C$ es un conjunto cerrado por lo tanto $\inf_{c\in C}\|h-c\| = \min_{c\in C}\|h-c\|$ o, en otras palabras, existe $c_0 \in C$ con $\|h-c_0\|=\min_{c\in C}\|h-c\|$ . Esto demuestra la existencia.

A continuación tenemos que mostrar la singularidad. Dejemos que $c_0' \in C$ sea otro elemento con $\|h-c_0'\| = \min_{c\in C}\|h-c\|$ .

Todavía no hemos utilizado ese $C$ es convexo y que $H$ es un espacio de Hilbert. La convexidad podría significar que tenemos que usar ${1\over 2}(c_0 + c_0')\in C$ pero no puedo proceder desde ahí. Que $H$ es un espacio de Hilbert podría significar que tenemos que usar la identidad del paralelogramo. He intentado aplicarla a $\|c_0 - c_0'\|^2 = \|(c_0 - h) - (c_0'-h)\|^2$ para demostrar que es cero, pero tampoco pudo terminar la idea.

Answer 1

He aludido a un método en mi comentario, pero supongo que lo dejaré aquí como respuesta. Dejemos que $\delta=\inf_{c\in C}\|c-h\|$ . Supongamos que $x,y\in C$ son tales que $\|x-h\|=\|y-h\|=\delta$ . Utilizando la identidad del paralelogramo, tenemos $$\|x-y\|^2=2\|x-h\|^2+2\|y-h\|^2-\|(x-h)+(y-h)\|^2=4\delta^2-4\|\frac{x+y}2-h\|^2.$$ Utilizando el hecho de que $C$ es convexo, $\frac{x+y}2\in C$ así que $\|\frac{x+y}2-h\|\geq\delta$ . De aquí podemos deducir $\|x-y\|^2=0$ .

Dejemos que $(x_n)$ sea una secuencia en $C$ con $\|x_n-h\|\to\delta$ . Arreglar $\epsilon>0$ . Existe $N>1$ de manera que si $n\geq N$ , $\|x_n-h\|^2<\delta^2+\frac{\epsilon^2}2$ . A partir de aquí, deberías ser capaz de utilizar pasos similares a los anteriores para demostrar que $(x_n)$ es Cauchy. Si $x=\lim_{n\to\infty}x_n$ es bastante sencillo mostrar $\|x-h\|=\delta$ . Te dejaré los últimos detalles.