aproximar la raíz del polinomio perturbado

Question

Aproximar la raíz de $$f(x)=(x-1)(x-1)(x-3)(x-4)-10^{-6}x^6$$ cerca de $r=4$ .

¿Tengo que utilizar un método iterativo para encontrar la raíz, como la bisección, la secante, etc.? ¿Hay alguna otra manera?

Answer 1

Si $f(x) =(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)-10^{-6}x^6 $ , si $c$ es pequeño,

$\begin{array}\\ f(4+c) &=(3+c)(2+c)(1+c)(c)-10^{-6}(4+c)^6\\ &=6c(1+c/2)(1+c/3)(1+c)-10^{-6}4^6(1+c/4)^6\\ &\approx 6c(1+c/2+c/3+c)-(2/5)^6(1+6c/4)\\ &=6c(1+11c/6)-(2/5)^6(1+3c/2)\\ &=c(6+(3/2)(2/5)^6) +11c^2-(2/5)^6\\ &\approx 6c -(2/5)^6\\ \end{array} $

Si esto es cero, $c = \frac{(2/5)^6}{6} \approx 0.0006826 $ por lo que la raíz es de $4.0006826$ , lo que concuerda muy bien con la respuesta mucho más precisa de Moo.

Answer 2

Si quieres una aproximación, el teorema de la función implícita es una herramienta útil.

Dejemos que $\phi(x,\epsilon) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)-\epsilon x^6$ . No es demasiado difícil de calcular ${\partial \phi(4,0) \over \partial x} = 6$ , ${\partial \phi(4,0) \over \partial \epsilon} = -4^6$ . Por lo tanto, existe una función $\xi$ definida en una vecindad de $\epsilon=0$ tal que $\phi(\xi(\epsilon), \epsilon) = 0$ , y ${\partial \xi(0) \over \partial \epsilon} = - ({\partial \phi(4,0) \over \partial x})^{-1} {\partial \phi(4,0) \over \partial \epsilon} = - {-4^6 \over 6} = {4^6 \over 6}$ .

Por lo tanto, esperamos $\xi({1 \over 10^6}) \approx \xi(0) + {\partial \xi(0) \over \partial \epsilon} {1 \over 10^6}=4 +{4^6 \over 6} {1 \over 10^6} \approx 4.000683$ .

Answer 3

Nos dan la función:

$$f(x) = (x-1) (x-2) (x-3) (x-4)-\dfrac{x^6}{1000000}$$

Un gráfico local de la función muestra:

Vemos claramente que hay una raíz $r \approx 4$ así como otras raíces.

Un método que podemos utilizar es el llamado Newton-Raphson Método. La iteración viene dada por:

$$\tag 1 x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)} = x_n - \dfrac{(x_n-1) (x_n-2) (x_n-3) (x_n-4)-\dfrac{x_n^6}{1000000}}{-\dfrac{3 x_n^5}{500000}+4 x_n^3-30 x_n^2+70 x_n-50}$$

Comenzaremos la iteración con una estimación inicial de $x_0 = 5$ e iterar utilizando $(1)$ .

• $x_0 = 5.0000000000000000000000000000000000000000000000000$
• $x_1 = 4.520132549706139802425909716143553832687257721646$
• $x_2 = 4.213728406139413811621689461664147945319554657302$
• Continuando con esto con $50-$ dígitos de precisión, convergemos después de $9$ iteraciones a:
• $x_9 = 4.0006825115317206360517121593821239383700711643283$

Tenga en cuenta que ha mencionado el Método Secante y también convergió a la raíz, pero el Método de bisección no lo hizo.

Cabe destacar que se trata de una función de sexto orden y podemos encontrar todas las raíces mediante este proceso (incluso las imaginarias) como:

• $x = -1004.9801730979548412226307120082711312441645974604$
• $x = 0.99999983333355092551054620226892671527779215577814$
• $x = 2.0000320035846145257264041034190706369224905276042$
• $x = 2.9996356990888364529650498845326637064948826629689$
• $x = 4.0006825115317206360517121593821239383700711643283$
• $x = 994.97982305041611868237699965866834624709936094976$

Por último, hay métodos que convergen aún más rápido como el método de cuarto o séptimo orden, por ejemplo, véase ¿Cómo desarrollar métodos iterativos de cuarto y séptimo orden? pero hay muchos otros métodos disponibles. Véase, por ejemplo Algoritmos de búsqueda de raíces