Dejemos que (M,g) y (N,h) sean variedades pseudo-riemannianas con conexiones Levi-Civita ∇g y ∇h , respectivamente. Sea φ:(M,g)→(N,h) sea una isometría. Demuestre que φ∗(∇gXY)=∇hφ∗Xφ∗Y para todos X,YX(M) .
¿podría alguien mostrarme cómo probar esto? Por ahora, sé que tal vez deba demostrar que el producto interior del lado izquierdo es igual al lado derecho. Y después de eso estoy completamente perdido...
Si φ es un difeomorfismo, entonces φ∗:X(M)→X(N) es una biyección. Utilice Fórmula de Koszul que determina de forma única la conexión Levi-Civita: 2h(∇hφ∗Xφ∗Y,φ∗Z)=(φ∗X)⋅h(φ∗Y,φ∗Z)+(φ∗Y)⋅h(φ∗X,φ∗Z)−(φ∗Z)⋅h(φ∗X,φ∗Y)+h([φ∗X,φ∗Y],φ∗Z)−h([φ∗X,φ∗Z],φ∗Y)−h([φ∗Y,φ∗Z],φ∗X). Utilice la naturalidad del corchete de Lie ( es decir [φ∗X,φ∗Y]=φ∗[X,Y] ), el hecho de que φ es una isometría ( es decir h=φ∗g ) y la regla de la cadena para demostrar que el lado derecho es igual a φ∗(2g(∇gXY,Z)) y concluir con la unicidad de la conexión Levi-Civita.
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