Para una variedad riemanniana cerrada $M$ de $n$ -consideramos el operador de Laplace-Beltrami $\Delta$ .
Se sabe que tenemos una expansión asintótica para la traza del operador calor $e^{-\Delta{t}}$ como sigue $$ \mathrm{tr}(e^{-\Delta{t}})=\sum_{\lambda}e^{-\lambda{t}}\overset{t\downarrow0}{\sim}t^{-\frac{n}{2}}\sum_{n} \alpha_{n}t^{n}, $$ donde $\lambda$ recorre el conjunto del espectro del laplaciano $\Delta$ .
Mi pregunta es que
Si denotamos por $\mathcal{D}$ el operador de Dirac cuyo cuadrado coincide con el laplaciano, la traza de un operador $e^{-\mathcal{D}t}$ tiene una expansión asintótica alrededor de $t=0$ ?
Si existe, ¿es posible inducir una relación entre los coeficientes?
Sé que la prueba para el caso del operador térmico se desprende de la construcción del núcleo térmico. Pero me pregunto si la misma construcción se puede aplicar al operador de Dirac.
Gracias por su tiempo y esfuerzo.
Lo estoy publicando en aquí también.
