Dejemos que $\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$ estar acotado. Entonces $\sum_0^{\infty} z^na_n$ converge para $|z|<1$

Question

Cómo probarlo:

Dejemos que $\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$ estar acotado. Demostrar que $\sum_0^{\infty} z^na_n$ converge para $|z|<1$

Hasta ahora he demostrado que las sumas parciales forman una secuencia de Cauchy, es decir $\{S_k\}_{k=0}^{\infty}$ es Cauchy.

¿Cómo debo proceder?

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Creo que debería suponer que el límite es $0$ al principio, y luego demostrar que existe un número entero $K$ tal que para cada $\epsilon$ cuando $k>K$ , $|S_k-0|<\epsilon$ .

Pero, ¿dónde podría utilizar el hecho que he demostrado (es decir, las sumas parciales forman un Cauchy)?

¿Alguna pista?

Answer 1

$\left | a_0 za_1 z^2a_2 ... \right |\quad< \left | a_0 \right | + \left | z \right | \left | a_1 \right | + \left | z^2 \right |\left | a_2 \right | + \dots$
ya que la secuencia está acotada, existe una
encuadernado $(a)$ $\Rightarrow$ $LHS < \left | a \right |(1 + \left | z \right | + \left | z^2 \right |.....)\\ LHS < \left | a \right |(1/1-\left | z \right |)$
que es una cantidad finita. Por lo tanto, la serie converge.

no tienes que usar la secuencia de Cauchy