Agradecería que alguien me indicara un error en mi respuesta.
Demostrar que a si conjunto finito $G$ es cerrado bajo un producto asociativo y que ambas leyes de cancelación se mantienen en $G$ entonces es un grupo. Demuestre también que si sólo se cumple una ley de cancelación, entonces $G$ no necesita ser un grupo.
En mi prueba, parece que estoy usando sólo una de las leyes de cancelación. Por lo tanto, es una contradicción con ambas partes de la pregunta.
Prueba: Tomemos un elemento $a\in G$ . Encuentre $a^n$ para todos $n\in\Bbb{N}$ . Sabemos que $G$ es cerrado bajo la multiplicación, y que además es finito. Por lo tanto, tiene que haber algún $a^x=a^y$ . Utilizando el ley de anulación de la mano izquierda obtenemos $a^{x-y+1}=a$ , lo que implica $a^{x-y-1}$ es la inversa de $a$ ( $a.a^{x-y}=a\implies a.a^{a-y-1}=e$ ).
Ahora tenemos que demostrar que la inversa de $a$ existe en $G$ . Supongamos que es $x$ . Supuesto: si $x$ es la inversa de $a$ entonces $axa=a$ . Utilizando el ley de anulación de la izquierda Supongamos que encontramos $a^m=a$ . Entonces $x=a^{m-2}$ . Como $G$ es cerrado bajo la multiplicación, $x\in G$ . Aquí estoy asumiendo $m\geq 3$ .
Por lo tanto, $G$ es un grupo.
¿Son los supuestos (si $ax=a\implies x$ es la identidad y $axa=a\implies x$ ¿es la inversa) válida?
Gracias de antemano.
