¿Cómo comprobamos si la función sigue siendo convexa?
¿Calculamos el hessiano bajo las restricciones?
Supongamos que pongo una restricción en $x$ tener $|x_i| < 1$ para $i \in \{1,2,\dots,n\}$ . En el libro dice que ahora se convierte en un problema de programación cuadrática con una restricción afín. ¿Qué significa esto en términos sencillos y cómo puedo resolverlo?
Creo que parte de la confusión aquí es que el término "convexo" se utiliza para describir tres categorías diferentes de cosas: convexo funciones , convexo establece o limitaciones y convexo problemas de optimización . Existen estrechas relaciones entre estos tres conceptos, por lo que el uso múltiple del término "convexo" está justificado. Sin embargo, a veces causa confusión.
Un convexo función es una función $f(x)$ satisfaciendo $$f(\lambda x + (1-\lambda)y) \leq \lambda f(x) + (1-\lambda) f(y) \quad\forall x,y\in\mathop{\textrm{dom}}(f).$$
Un convexo set es un conjunto $X$ satisfaciendo $$\lambda x + (1-\lambda)y \in X \quad \forall x,y\in X.$$ Es de esperar que la similitud con la definición de una función convexa sea evidente. De hecho, una función $f$ es convexo si y sólo si su epígrafe $\mathop{\textrm{epi}} f \triangleq \{(x,y)\,|\,f(x)\leq y\}$ es un conjunto convexo.
Un convexo restricción es una expresión, normalmente una ecuación o desigualdad, que describe un conjunto convexo. Por ejemplo, cada una de sus restricciones $|x_i|\leq 1$ es una restricción convexa. La intersección de conjuntos convexos es siempre convexa; asimismo, la combinación de sus $n$ Las restricciones describen un conjunto convexo un hipercubo, de hecho.
Por último, un convexo optimización El problema consiste en minimizar una función sujeta a cero o más convexos limitaciones . (Hay variaciones, pero para los fines de esta discusión esto será suficiente).
Así que para responder a su pregunta: el función no cambió sólo porque ahora tiene algunas restricciones que le gustaría aplicar. Más bien, usted ha construido un convexo problema de optimización que consiste en minimizar esa función sujeta a $n$ restricciones convexas. Este problema es más difícil de resolver en la práctica que si no existieran las restricciones. Pero su texto es correcto; se trata de un problema de programación cuadrática y hay una gran cantidad de recursos (textos y programas informáticos) que describen estos problemas y cómo resolverlos.
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