Divertido rompecabezas matemático de Trig

Question

Este es un rompecabezas desafiante que escuché de mi hermano menor.

Para algunos $n$ y $x$ , $\sum_{k=1}^n \sin^{2k}(x) = 2013$ .

¿Es posible deducir $$\sum_{k=1}^n \cos^{2k}(x) \text{ ?}$$

Editar: Acabo de darme cuenta de algo que ahora me parece obvio.
Elija $n = 2013$ y $x = \pi/2$ que satisface la condición. De ello se desprende que los términos del coseno se sumarían a cero. No estoy seguro de que esta sea una solución única.

Answer 1

Como se ha señalado, la ecuación se mantiene si $n=2013$ y $x=\pi/2$ . Ahora dejemos que $n=2014$ . Por continuidad, existe un valor de $x$ un poco más pequeño que $\pi/2$ para el que se cumple la ecuación, y, para este valor de $x$ la suma del coseno no será cero. Así que no se puede deducir la suma del coseno a partir de saber que la primera ecuación es válida.

Answer 2

Dejar $r=sin^2(x)$ tenemos

$$\sum_{k=1}^n r^k=\frac{r(1-r^n)}{1-r}=2013$$ Ahora queremos: $$\sum_{k=1}^n (1-r)^k=\frac{(1-r)(1-(1-r)^n)}{r}$$

Podemos deducir: $$2013\sum_{k=1}^n (1-r)^k=(1-r^n)(1-(1-r)^n)$$