¿Qué variedades están delimitadas por RP^impar?

Question

Los espacios proyectivos reales $\mathbb{R}P^n$ tienen anillos de cohomología $\mathbb{Z}/2$ dados por $\mathbb{Z}/2[x]/(x^{n+1})$ y la clase de Stiefel-Whitney total $(1+x)^{n+1}$ que es $1$ cuando $n$ es impar, por lo que se deduce que los de dimensión impar son fronteras de $(n+1)$-variedades compactas. Mi pregunta es: ¿hay construcciones especialmente bonitas de estas $(n+1)$-variedades?

Estoy especialmente interesado en el caso $n=3$. Creo que podemos obtener un ejemplo explícito de una 4-variedad limitada por $\mathbb{R}P^3$ usando Rokhlin/Lickorish-Wallace pero no parece que eso se generalice a dimensiones más altas fácilmente. ¿Hay muchas 4-variedades diferentes con esta propiedad?

Answer 1

$\mathbb RP^3$ doble-cubre el espacio de lentes $L_{4,1}$, por lo que es el límite del cilindro de mapeo de ese mapa de cobertura.

En general, $\mathbb RP^n$ para $n$ impar doble-cubre un espacio de lentes. Por lo tanto, en general $\mathbb RP^n$ es el límite de un $\textit{I}$-fibrado bastante estándar sobre el espacio de lentes correspondiente. Para ser específico, define el espacio de lentes general $L_{4,1}$ como $S^{2n-1} / \mathbb Z_4$, donde $\mathbb Z_4 \subset S^1$ son las raíces cuartas de la unidad, y estamos usando la acción estándar de los números complejos unitarios en una esfera de dimensión impar $S^{2n-1} \subset \mathbb C^n$.

Editando: generalizando la construcción de Tim, tienes el fibrado de fibras $S^1 \to S^{2n-1} \to \mathbb CP^{n-1}$. Esto te permite pensar en $S^{2n-1}$ como el límite del $\textit{D}^2$-fibrado tautológico sobre $\mathbb CP^{n-1}$. Puedes dividir todo el fibrado por el mapa antipodal y obtendrás $\mathbb RP^{2n-1}$ como el límite del fibrado de disco sobre $\mathbb CP^{n-1}$ con clase de Euler $2$. Por lo tanto, esto te da una variedad orientable que limita $\mathbb RP^{2n-1}$ mientras que mi ejemplo anterior era no orientable.

Answer 2

$\mathbb{RP}^3$ es el haz tangente (co)tangente unitario a $S^2$. Por lo tanto, limita el haz de disco en $TS^2$. Alternativamente, cada vez que tienes una 2-esfera de auto-intersección $\pm2$ en una 4-variedad cerrada, por ejemplo, cualquier esfera Lagrangiana en una 4-variedad simpléctica, obtienes una división en dos piezas a lo largo de un $\mathbb{RP}^3$. Así que podrías considerar la diagonal $S^2$ en $S^2\times S^2$, por ejemplo.

Answer 3

Tome la superficie compleja $Z_1 ^2 + Z_2 ^2 + Z_3^2 = 1$ en el espacio complejo de 3 dimensiones, $\mathbb{C}^3$ e intersecciónela con la bola $|Z_1|^2 + |Z_2|^2 + |Z_3|^2 \le 1$ para obtener una variedad explícita de 4 dimensiones con frontera incrustada en $\mathbb{C}^3$ cuya frontera es $\mathbb{R}P^3$, realizada al intersecar la superficie compleja con la 5-esfera $|Z_1|^2 + |Z_2|^2 + |Z_3|^2 = 1$.

Para verificar, divida $Z_a = x_a + i y_a$ en sus partes reales e imaginarias $x_a, y_a$, haga un poco de álgebra y vea que la hipersuperficie es difeomorfa al haz tangente de la esfera estándar $S^2$, esa esfera siendo realizada dentro del espacio $(x_1, x_2, x_3)$ al establecer $y_a = 0$. (He escuchado que esta superficie compleja se llama la 'hiperesfera' o 'esfera compleja' o algo así.)

Intersectar la hipersuperficie con la 5-bola $|Z_1|^2 + |Z_2|^2 + |Z_3|^2 \le 1$ es lo mismo que tomar el haz de discos de la construcción de Tim Perutz.

Establecer $|Z_1|^2 + |Z_2|^2 + |Z_3|^2 = 1$ dentro de la hipersuperficie es el $RP^3$ que limita la variedad de 4 dimensiones.

Por lo tanto, puede tomar su variedad de 4 dimensiones como un "dominio de Stein" en $\mathbb{C}^3$ estándar.

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Más explícitamente, con un recuerdo sobre CR:

Después de algunas reescalas, esta incrustación de $RP^3$ es esencialmente el ejemplo de Rossi de una estructura CR analítica en la tres esferas que no admite una incrustación CR en ningún $C^n$.

Considere el mapeo de $\mathbb{C}^2$ a $\mathbb{C}^3$ dado por $$Z_1 = i[ (z^2 + w^2) + t (\bar z ^2 + \bar w ^2)]$$ $$Z_2 = [ (z^2 - w^2) - t (\bar z ^2 - \bar w ^2)]$$ $$Z_3 = 2 [ zw - t \bar z \bar w]$$ donde $t$ es real e $i = \sqrt{-1}$.

Un cálculo muestra que $Z_1 ^2 + Z_2 ^2 + Z_3^2 =-4 t (|z|^2 + |w|^2)^2$ mientras que $|Z_1|^2 + |Z_2|^2 + |Z_3|^2 = 2(1 + t^2)(|z|^2 + |w|^2)^2.$ Se sigue que la imagen de la esfera estándar $S^3$ en $C^2$ es la hipersuperficie compleja $Z_1 ^2 + Z_2 ^2 + Z_3^2 =-4 t $ interceptada con la 5-bola
$|Z_1|^2 + |Z_2|^2 + |Z_3|^2 = 2(1 + t^2)$.

Dado que el mapeo $(z, w) \to (Z_1, Z_2, Z_3)$ es $2:1$ restringido a $S^3$, su imagen es $\mathbb{R}P^3$.

La afirmación de 'no incrustación CR' de Rossi para $t \ne 0$ se relaciona con la estructura CR inducida en $S^3$ (a través de la retroalimentación de la estructura CR de su imagen). Cuando $t \ne 0$ cada función CR para esta estructura CR en $S^3$ es una función analítica de estos $Z_i (z,w)$, y por lo tanto es invariante bajo el mapeo antipodal $(z,w) \to (-z, -w)$. Así, las funciones CR para estas estructuras CR 'retorcidas' en $S^3$ no pueden separar (antipodales) puntos y por lo tanto el $S^3$ no puede ser incrustado de manera CR.

Es un hecho curioso que todas las estructuras CR invariante a la izquierda en $SU(2) = S^3$ surgen de esta manera, con la estructura CR estándar correspondiente a $t = 0$.

algunas referencias:

H. Rossi, Adjuntando espacios analíticos a un espacio analítico a lo largo de un límite pseudoconcavo. 1965 Proc. Conf. Análisis Complejo (Minneapolis, 1964) pp. 242–256, Springer, Berlín.

D. Burns, Comportamiento global de algunas ecuaciones tangenciales de Cauchy-Riemann en "Ecuaciones en Derivadas Parciales y Geometría" (Proc. Conf., Park City, Utah, 1977); Dekker, Nueva York, 1979, p. 51.

E. Falbel, Variedades CR no-incrustables y Singularidades de Superficies. Invent. Math. 108 (1992), No. 1, 49-65.

Answer 4

Aquí hay un hecho general simple: si una variedad $M$ admite una involución libre $T$, entonces $M$ es una frontera. Prueba: $M$ será la frontera de $W =(M \times [-1,1])/((Tx,t) \sim (x,-t))$. En tu caso particular: cuando $n$ es impar, la acción libre estándar de $C_4$ en $S^n$ induce una acción libre de $C_2$ en $\mathbb RP^n$. (Nota que este $W$ tiende a ser no orientable, incluso si $M$ lo es. Ejercicio: deja que $M = S^1$.)