Verificación de la prueba: Si $x_ny_n \rightarrow L$ y $\frac{x_n}{y_n} \rightarrow M$ entonces $x_n$ y $y_n$ convergen.

Question

Intenté probar esto demostrando el contrapositivo de la afirmación: Si $x_n$ o $y_n$ divergen, entonces $x_ny_n$ o $x_n/y_n$ debe divergir. Pero, si dejamos que $x_n = (-1)^n$ y $y_n=(-1)^{n+1}$ entonces tenemos $x_ny_n=(-1)^{2n+1}$ que convergen en $-1$ . Y, también tenemos $x_n/y_n = (-1)^{-1}=-1$ una secuencia convergente. Como la contrapositiva es falsa, la afirmación original debe ser también falsa.

Answer 1

Sí, es falso como has demostrado correctamente.

Sin embargo, si pedimos que las secuencias sean positivas, el resultado es verdadero.

Tenga en cuenta que si $a_nb_n$ y $\frac{a_n}{b_n}$ convergen entonces el producto: $a_n^2$ también converge, y en el caso en que el $a_n$ son positivos deducimos que $a_n$ converge. Se puede demostrar análogamente que $\frac{1}{b_n^2}$ converge, lo que implica que $b_n^2$ converge, y una vez más, si $b_n$ es positivo, entonces debe converger.