Momentos sobre el número de ocurrencias de la subcadena

Question

Dejemos que $S$ sea una cadena de longitud $n$ . Cada carácter de $S$ tiene probabilidad $p$ de ser "A" y la probabilidad $1-p=q$ de ser "B". $R$ es el número de apariciones de la subcadena "AB" en $S$ . Me gustaría determinar $\mathbf{E}[R]$ y $\mathbf{var}[R]$ . Puedo determinar la expectativa mediante una definición recursiva y la expectativa total:

$\mathbf{E}[R] = pq\left(1+\mathbf{E}\left[R_{n-1}\right]\right)+\left(1-pq\right)\mathbf{E}\left[R_{n-1}\right]$

Pero no estoy seguro de cómo puedo enfocar el problema para determinar la varianza.

He intentado definir una Función de Masa Probable pero parece que se va a complicar muy pronto. $\Pr(R=x) = \binom{n-x}{x}\cdot\left(pq\right)^{x} \cdot \text{probability of no other ABs}$

Y esa probabilidad "no otra" acaba siendo, por ejemplo para $x=1$ :

$\sum_{i=0}^{u}p^i q^{u-1} \cdot \sum_{i=0}^{v}p^i q^{u-1}$ sumando todos los $u+v+2=n$ pero creo que puede haber una forma mejor.

Answer 1

Supongo que todos los personajes son independientes.

Dejemos que $X_1,\ldots,X_{n-1}$ sean las variables aleatorias definidas como sigue: $X_i=1$ si hay $AB$ a partir del $i$ -ésima posición, en caso contrario $X_i=0$ . Entonces $R=X_1+\cdots+X_{n-1}$ . Por linealidad de la expectativa $E(R)=\sum_i E(X_i)$ y $E(R^2)=\sum_{i,j} E(X_i X_j)$ . Ahora $E(X_i)=pq$ así que $E(R)=(n-1)pq$ . SI $i=j$ entonces $X_i X_j=X_i^2=X_i$ ; si $|i-j|=1$ entonces $X_i X_j=0$ y si $|i-j|\ge2$ entonces $X_i$ y $X_j$ son independientes para que $E(X_i X_j)=E(X_i)^2 =p^2 q^2$ . Ahora es sólo la contabilidad para encontrar $E(R^2)$ y así también $Var(R)$ .