Encontrando $\lim\limits_{x\to 0} (\sqrt{4+x}-1)^{1/(e^x-1)}$

Question

Tengo que encontrar el límite de $(\sqrt{4+x}-1)^{1/(e^x-1)}$ como $x\to0$ sin la regla de de l'Hopital y sólo con notables límites

Answer 1

Para $x\to 0, \operatorname{e}^x\sim 1+x$ y $\sqrt{4+x}=2\left(1+\frac{x}{4}\right)^{\frac{1}{2}}\sim 2\left(1+\frac{x}{8}\right)$ para que $$ \left(\sqrt{4+x}-1\right)^{1}{\operatorname{e}^x-1}\sim \left(1+\frac{x}{4}\right)^{\frac{1}{x}} $$ Poniendo $y=\frac{1}{x}$ el límite es $$ \lim_{y\to\infty}\left(1+\frac{1/4}{y}\right)^y=\operatorname{e}^{1/4} $$

Answer 2

Tomando el logaritmo se puede calcular $$ \lim_{x\to 0}\frac{\log(\sqrt{4+x}-1)}{e^x-1}= \lim_{x\to 0}\frac{\log(\sqrt{4+x}-1)}{x}\frac{x}{e^x-1} $$ El límite de la segunda fracción es $1$ , por lo que se reduce a computar $$ \lim_{x\to 0}\frac{\log(\sqrt{4+x}-1)}{x} $$

Set $1+u=\sqrt{4+x}-1$ Así que $\sqrt{4+x}=u+2$ y $4+x=u^2+4u+4$ Por lo tanto $x=u^2+4u$ Cuando $x\to0$ también $u\to0$ por lo que el límite se convierte en $$ \lim_{u\to 0}\frac{\log(1+u)}{u(u+4)} $$

¿Puedes ir desde aquí?

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Nota: en el cálculo los dos límites fundamentales

\begin{gather} \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1\\[1ex] \lim_{x\to 0}\frac{\log(1+x)}{x}=1 \end{gather}

se utilizan. Compruebe si está autorizado a utilizarlos.

Answer 3

No estoy totalmente seguro de hacia dónde se dirige esto, pero he aquí un posible primer paso. $$ L = \lim_{x\to0} (\sqrt{4+x}-1)^{\large \frac{1}{e^x-1}} $$ Multiplicando ambos lados, tenemos $$ \begin{align} \left[\lim_{x \to 0} (\sqrt{4+x}+1)^{\large \frac{1}{e^x-1}}\right] L &= \lim_{x\to0} [(\sqrt{4+x}-1)(\sqrt{4+x}+1)]^{\large \frac{1}{e^x-1}}\\ \left[\lim_{x \to 0} (\sqrt{4+x}+1)^{\large \frac{1}{e^x-1}}\right] \cdot L&= \lim_{x\to 0}[3+x]^{\large \frac{1}{e^x-1}} \end{align} $$ Espero que eso ayude.

Answer 4

$\ln \left( \sqrt{4+x}-1 \right)^{\frac{1}{e^x-1}}= \frac{x}{e^x-1} \frac{\ln \left(1+(\sqrt{4+x}-2)) \right)}{x} = \frac{x}{e^x-1} \frac{\ln \left(1+ \frac{x}{2+\sqrt{4+x}} \right)}{x} = \frac{x}{e^x-1} \frac{\ln \left(1+ \frac{x}{2+\sqrt{4+x}} \right)}{\frac{x}{2+\sqrt{4+x}}} \frac{1}{2+\sqrt{4+x}} \rightarrow 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{4}$

Por lo tanto, $\lim_{x\to 0} \left( \sqrt{4+x}-1\right)^\frac{1}{e^x-1} = e^\frac{1}{4}$

He utilizado límites bien conocidos $\lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x}=1=\lim_{x\to 0} \frac{\ln (1+x)}{x}$