mostrando una función convexa s subarmónica

Question

Dada una $C^2$ función convexa $f$ y $u$ una función armónica en un subconjunto abierto de $\mathbb{R^2}$ ¿Cómo puedo demostrar que $f(u)$ ¿es sub-armónico?

Answer 1

También se pueden calcular simplemente las derivadas, ya que todo es suficientemente diferenciable: $$ (f(u))_x = f'\cdot u_x\Rightarrow (f(u))_{xx} = f'' u_x^2+f'u_{xx} $$ y claramente, $(f(u))_{yy} = f'' u_y^2+f' u_{yy}$ . Como resultado, $$ \Delta f(u) = f'' (u_x^2+u_y^2)\geq 0 $$ desde $f$ es un convexo $C^2$ función.