¿Raíz de una función? (Demostración con el teorema de Banach)

Question

Dada es una función $f$ : $\left [ -1,1 \right ]\rightarrow \mathbb{R}$ que es continua y diferenciable. La función $g$ : $\left [ -1,1 \right ]\rightarrow \left [ -2,2 \right ]$ es una aproximación biyectiva de $f$ , de tal manera que $\left | g'(x)- f'(x) \right |\leq \frac{1}{2}inf_{y\in \left [ -1,1 \right ]}g'(y)$ y $\left | f(x)-g(x) \right |< 1$ para todos $x\in \left [ -1,1 \right ]$ . Buscamos una raíz de la función $f$ en el intervalo $\left [ -1,1 \right ]$ . Elija un $x_{1}:=0$ y considerar la fórmula de iteración $x_{n+1}:=g^{-1}(g(x_{n}) - f(x_{n}))$ . Demuestre mediante el teorema del punto fijo de Banach, que la secuencia $\left \{ x_{n} \right \}$ converge a un punto $x_{\infty }$ que es una raíz de la función $f$ .

Recordatorio: (Teorema del punto fijo de Banach) Sea $D\subset \mathbb{R}^{n}$ cerrado y $g:D\rightarrow D$ es una contracción. El $g$ tiene un punto fijo $x_{\infty }\in D$ y la secuencia $x_{0}\in D$ , $x_{n+1}=g(x_{n})$ converge a $x_{\infty }$ .

Así que, supongo que la idea es mostrar que $f$ es una contracción en el intervalo $\left [ -1,1 \right ]$ Esto significa que tengo que demostrar que existe un $k\in (0,1)$ tal que $\left | f(x)-f(y) \right |\leq k\left | x-y \right |$ para todos $x,y\in \left [ -1,1 \right ]$ . Tal vez esto no sea suficiente para la prueba... ¿cómo puedo utilizar la información adicional sobre la función de aproximación $g$ ? ¿Puede alguien darme una pista, por favor? Estaré encantado de leer cualquier comentario y observación. ¡Gracias de antemano!

Answer 1

Definir $D: [-1,1] \rightarrow \mathbb{R} \ $ por $ \ D(x) := g^{-1}(g(x) - f(x))$ . Obsérvese que un punto fijo de $D$ es lo que buscamos. Así que debemos mostrar $D$ es una contracción.

Tenga en cuenta que para una función $h$ con propiedades adecuadas $(h^{-1})'(x) = \frac{1}{h'(h^{-1}(x))}.$

Nótese que por el Teorema del Valor Medio

$$ \forall x,y \in [-1,1] \ \ \ \frac{|D(x) - D(y)|}{|x-y|} \leq \sup_{x \in [-1,1]}|D'(x)|,$$

por lo que basta con acotar este último por un número en $(0,1)$ .

Pero

\begin{aligned} |D'(x)| &= \frac{|g'(x) - f'(x)|}{|g'(g^{-1}(g(x) - f(x))|} \\ &\leq \frac{1}{2}\frac{\inf_{[-1,1]}|g'(x)|}{|g'(g^{-1}(g(x) - f(x)))|}\\ &\leq \frac{1}{2} \frac{\inf_{[-1,1]}|g'(x)|}{\inf_{[-1,1]}|g'(g^{-1}(x))|}\\ &\leq \frac{1}{2} \frac{\inf_{[-1,1]}|g'(x)|}{\inf_{[-2,2]}|g'(g^{-1}(x))|}\\ &= \frac{1}{2} \frac{\inf_{[-1,1]}|g'(x)|}{\inf_{[-1,1]}|g'(x)|} = \frac{1}{2} < 1,\\ \end{aligned}

y hemos terminado.

NB $\quad$ En la segunda en la desigualdad utilizo el hecho de que $\ \sup_{x \in [-1,1]}|(f(x) - g(x)| \leq 1$ . En la penúltima igualdad utilizo el hecho de que $g^{-1}$ es una biyección de $[-2,2]$ a $[-1,1]$ .

Espero que esto ayude,

Frank.